İki değişmeli normal alt grubun elemanları değişiyor mu?
Yani $H$ ve $K$bazı grupların normal değişmeli alt gruplarıdır. Herkes için doğru mu$h \in H$ ve herkes için $k \in K$ o $hk=kh$? İfadenin geçerli olduğunu düşünmüyorum ama (oldukça basit) bir karşı örnek bulamıyorum.
Yanıtlar
İzin Vermek $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ düzenin kuaterniyon grubu olun $8$. Düşünmek$H=\{\pm1,\pm i\}$ ve $K=\{\pm1,\pm j\}$.
En kolay karşı örnek, dihedral gruptur $D_8$, diyelim ki $a$ düzenin $4$ ve $b$ düzenin $2$. Her unsuru$D_8$ normal bir düzen alt grubunda yer alır $4$: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$ ve $\{1,a^2,ab,a^3b\}$. Elbette bunların hepsi değişmeli, çünkü düzenleri var$4$. İfadeniz doğrulandıysa, o zaman$D_8$ bu nedenle değişmeli olacaktır, ki bu elbette değildir.
Örneği $Q_8$diğer iki cevap elbette tamamen geçerlidir. Aslında, eğer$G$ değişmeli olmayan herhangi bir düzen grubudur $p^3$ sonra her öğe bir düzen alt grubunda yer alır $p^2$ (zorunlu olarak değişmeli ve normaldir) ve dolayısıyla değişmeli olmayan her düzen grubu $p^3$ bir karşı örnektir.
Herhangi bir Hamiltonian grubu size tanım gereği bir karşı örnek verecektir, çünkü herhangi bir döngüsel alt grup değişmeli ve normaldir, ancak yine de değişmeyen jeneratörlere sahip iki döngüsel alt grup bulabilirsiniz.
Bu tür en küçük örnek, kuaterniyon grubudur $Q_8$.