İşlevsellik oluşturma çözümü alıştırması 1a.

Question

Soru:

1. Aşağıdaki dizilerin her birinin işlevlerini oluşturan sıradan güç serilerini basit, kapalı biçimde bulun. Her durumda sıra, tümü için tanımlanır$n\geq0$. (a)$a_n=n$

İşlev budur $A(x)=0x^0+1x^1+2x^2+3x^3+\ldots$, bunu şu şekilde yeniden yazıyorum: $A(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots)+(x^2+x^3+x^5+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$

Terimlerin her biri geometrik bir seridir ve bu yüzden bunu şu şekilde yazdım:

$\begin{align} A(x) &= \frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots \\ &= \frac{x}{1-x}\left(1+x+x^2+\ldots\right) \\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$

Bu nedenle cevabım $A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$. Ancak, kitabın arkasındaki cevap anahtarı cevabın "$(xD)(1/(1-x))=x/(1-x)^2$". Oluşturma işlevim cevap anahtarının RHS'si gibi görünse de, LHS'nin ne anlama geldiğini anlamıyorum. Burada eksik olduğum bir şey mi var?

Answer 1

$LHS$bulduğunuzla aynı üretme işlevini elde etmenin başka bir yoludur. Diyor ki: türevini al$1/(1-x)$ ve sonra çarpın $x$.