İspat et $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$[kopyalamak]
kanıtlamam gerek$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$ama aklımın ucundayım. Web'i taradım ama yalnızca ters = 0'ı kanıtlayan örnekler/cevaplar bulabiliyorum ve kendim için boşuna olmayan bir sürü yöntem denedim (genişletilmiş terimler, hepsi yanlış olan sayısız farklı türevlerle L'Hopitals Kuralı). Biri beni doğru yöne işaret edebilir mi, tamamen sıkışıp kaldım ...
Yanıtlar
Bunu not et$\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$. İlgili grafikleri çizerek şunları görebilirsiniz:
$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$
$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$
Şimdi integrali hesaplayın$\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$, böylece yukarıdaki olur
$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$
Ve şimdi, bölme işleminden sonra sıkıştırma teoremi ile sonucunuzu alıyoruz.
$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$ve bu yüzden$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$
Üst sınırın bu sınırını değerlendirirken,$2$o zamandan beri$\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$. Ancak, seçerseniz$\epsilon >1$, Anlıyorsun
$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$ve bu yüzden$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$
dan beri$\epsilon>1$(keyfi), şu sonuca varabilirsiniz:$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$
(alt sınırı kolayca elde edebilirsiniz) ve bu nedenle sınır$1$.
kullanma$$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$sahibiz$$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$
Ek.
Sol taraf için tümevarımın ilk adımı açıktır. O zamanlar$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$Çünkü$(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$eşdeğerdir$\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$.
Sağ taraf için$$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$
$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$
L'Hôpital kuralının uygulanması,
$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$
Tekrar uygulama, verim
$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$
Payda 1'e şu şekilde yaklaşır:$x\rightarrow \infty$.