Ito'nun lemma 2. derece terim gösterimi.
Burada bir gösterim sorum var.
Ito'nun lemmasının en basit biçiminde, buna sahibiz
$ df(Y_t) = f'(Y_t) dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$
Nasıl hesaplanacağını biliyorum $ d\langle Y \rangle_t $ terim, ama her zaman sormak istiyorum
- terimin adı nedir ve tam olarak ne anlama gelir?
- neden bu kadar özel bir şekilde yazılıyor ama kullanılmıyor $ Cov() $veya $ Var() $?
Benim için kavramsal olarak bu, sürecin varyansıdır, ancak gösterimi anlamıyorum. Neden alt simge$ t $ dışına konuluyor $ \langle \cdot \rangle $.
Aşağıdakilerden herhangi biri gibi yazabilir miyim?
$ \langle dY_t \rangle $
$ d \langle Y_t \rangle $
İşin içinde iki süreç varsa, kalıbı takip ederek sanırım şöyle yazılmalıdır. $ d\langle X, Y \rangle_t $ama aşağıdaki gibi yazabilir miyim?
$ \langle dX_t, dY_t \rangle $
$ d\langle X_t, Y_t \rangle $
Ayrıca integral formda yazabilir miyim? Nereye koymalıyım$ t $ integral formda yazıyorsam?
Çok teşekkürler
Yanıtlar
Uzun el / Kısa el notasyonu:
Şahsen ben her zaman kısa el gösterimini kafa karıştırıcı buldum ve bu güne kadar mümkün olduğunca kaçınmaya çalışıyorum. Aşağıda, bunun neden kafa karıştırıcı olduğunu ve sıkça yapılan hatalara yol açtığını göstermeye çalışacağım.
"Uzun el" gösteriminde, bir Ito süreci $X_t$ aşağıdaki gibi tanımlanır:
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h $$
Yukarıda $a(X_t,t)$ ve $b(X_t,t)$ bazı kare integrallenebilir süreçlerdir.
Bu fazlalaştı Kuadratik varyasyon arasında$X_t$ o zaman şöyle olur:
$$\left<X\right>_t=\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h)^2dh $$
(Bu, Stokastik Süreçler için Kuadratik varyasyon tanımından gelir, bu yazının sonundaki düzenlemeye bakın)
Şimdi, kısa el gösterimde, denklemi yazabiliriz $X_t$ yukarıda olduğu gibi:
$$dX_t=a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t$$
İlk olarak, kısa el notasyonu gerçekten ne anlama geliyor? Tanımlayabiliriz$\delta X_t$ aşağıdaki gibi:
$$\delta X_t:=X_t-X_0=\int_{h=0}^{h=\delta t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=\delta t}b(X_h,h) dW_h$$
Ve sonra $dX_t$ şu satırlar boyunca (sezgisel olarak, kesin olarak değil) anlaşılabilir:
$$\lim_{\delta t \to 0} \delta X_t = dX_t$$
Ama bence gerçekte ne olduğuna dair kısa el gösterimini anlamak en iyisi: yani stokastik integraller için kısa el.
Ito'nun Lemması:
Şimdi Ito'nun Lemma'sı böyle herhangi bir Ito işlemi için $X_t$, iki kez türevlenebilir herhangi bir işlev $F()$ nın-nin $X_t$ ve $t$ aşağıdaki denkleme uyacaktır:
$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$
Yukarıda, " ikinci dereceden varyasyon " terimini görebilirsiniz:
$$\int_{h=0}^{h=t}0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2 dh$$
("kısa el" gösteriminde şu şekilde yazılabilirdi: $0.5F''(X_t)d\left<X\right>_t$yani seninkiyle tamamen aynı $0.5f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$Sadece kullanıyorum $F$ onun yerine $f$ ve $X_t$ onun yerine $Y_t$: Yine, kısa eli uzun el gösteriminden çok daha az sezgisel buluyorum, Ito süreçleriyle yıllarca oynadıktan sonra bile).
Neden Kısa el notasyonu kullanılmıyor?
Şimdi, kısa el notasyonunun neden süper kafa karıştırıcı olabileceğini düşündüğümün bir örneğini göstermek istiyorum: Ornstein-Uhlenbeck sürecine geçelim (aşağıda, $\mu$, $\theta$ ve $\sigma$ sabit parametrelerdir):
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\theta(\mu- X_h)dh + \int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h $$
Sahibiz $a(X_t,t)=\theta(\mu- X_h)$ ve $b(X_t,t) = \sigma$.
Yukarıdakileri çözmenin püf noktası, Ito'nun lemmasını $F(X_t,t):=X_t e^{\theta t}$, veren:
$$X_te^{\theta t}=F(X_0,t_0)_{=X_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\theta X_h e^{\theta h}}+\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}_{=0}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}b(X_h,h)\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\theta X_h e^{\theta h}+e^{\theta h}\theta(\mu- X_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h$$
Şimdi, çözümü almak için $X_t$, son adım basitçe her iki tarafı da $e^{\theta t}$izole etmek için $X_t$ LHS'deki terim:
$$X_t=X_0e^{-\theta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta(h-t)}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\theta(h-t)} dW_h$$
Ornstein-Uhlenbeck'i çözmeye çalışan birçok insanın her şeyi "kısa el" gösterimini kullanarak yazdığını gördüm ve son adımda, $e^{\theta t}$Normalde şu şekilde yazılan terimleri "iptal eden" insanlar gördüm $e^{\theta h}$ integrallerin içinde: çünkü kısa el gösterimi, bir entegrasyon kukla değişkeninin ne olduğunu ayırt edemiyor (yani "$h$") ve zaten entegre edilmiş olan"$t$".
Sonuç olarak, SDE'ler için kısa el notasyonunu kullanmanızı tavsiye etmem ve bununla karşılaşırsanız, gerçekten ne anlama geldiğine (yani "uzun el" notasyonu) "tercüme etmeyi" teşvik ederim: en azından benim için , olayların anlaşılmasını çok daha kolay hale getirdi.
Kuadratik Varyasyon Düzenleme : Stokastik Süreçler için ikinci dereceden varyasyon, özellikle Brownian hareketi için ağ boyutu daha ince ve daha ince hale geldikçe Olasılıkta bir sınır olarak tanımlanır.$\forall \epsilon > 0$:
$$\left<W\right>_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$
Yani, Kuadratik varyasyonun yakınsama olasılığı $t$ağ boyutu sonsuz derecede ince hale geldikçe 1'e gider (kanıt oldukça tekniktir, örneğin burada , neredeyse kesin olarak yakınsamayı kanıtlıyor gibi göründükleri (olasılıkta yakınsamayı ima eder) buraya bakın ).
O zaman basitçe yazabileceğimize dikkat edin:
$$t=\int_{h=0}^{h=t}dh$$ ve böylece iyi bilinen formülü elde edin:
$$ \left< W \right>_t=\int_{h=0}^{h=t}dh=t$$