İzdüşümü arasındaki ilişki $y$ üstüne $x_1, x_2$ bireysel mi yoksa projeksiyon mu?

Aug 16 2020

Bu aslında az önce sorduğum çapraz geçerliliğe sahip soruya benziyor , ancak burada bunu doğrusal bir cebir yoluyla ortaya koyacağım.

Düşünmek $y \in \mathbb{R}^n$ ve $x_1, x_2, 1_n \in \mathbb{R}^{n}$. Ortogonal olarak projelendirdiğinizi varsayalım$y$ üstüne $x_1, 1_n$ ve projeksiyonunu bul $y$ tarafından kapsanan alt uzaya $x_1, 1_n$ olarak yazılabilir $\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1 + b_1$yani doğrusal bir kombinasyon $x_1$artı biraz ofset. Şimdi aynısını dik izdüşüm için yapın$y$ üstüne $x_2, 1_n$ ve bul $\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2 + b_2$.

Şimdi projelendirmeyi düşünün $y$ her ikisi tarafından kapsanan altuzaya $x_1, x_2, 1_n$ ve bul $\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2 + b_{12}$.

Eğer $x_1 \perp x_2$sonra biliyorum $\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$. Ama ya ortogonal değillerse?

Arasındaki ilişki hakkında ne söyleyebilirim $\hat{\beta}$ ve $\hat{\gamma}$ bu durumda?

Benim de ilgilendiğim bazı özel sorular, eğer $\hat{\beta} >0 $, bu ima ediyor mu $\hat{\gamma} > 0$? Eğer$x_1, x_2$ doğrusal olarak bağımlıysa, bunun katsayılardan biri için doğru olmayacağını düşünmüyorum.

Yanıtlar

VSSChaitanyaChavali Mar 12 2021 at 19:14

Bu sabitlerin ne olduğunu tam olarak anladığımı söyleyemem $b_1$, $b_2$ veya $b_{12}$içindir. Ama sorunun özünü anladım ve elimden gelenin en iyisini yapacağım.

Ortogonal izdüşümü söyle $y$ tarafından kapsanan alt uzaya $x_1$ olarak yazılabilir $\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1$yani doğrusal bir kombinasyon $x_1$. Şimdi aynısını dik izdüşüm için yapıyoruz$y$ üstüne $x_2$ ve bul $\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2$.

Ayrıca projeksiyonumuz var $y$ her ikisi tarafından kapsanan altuzaya $x_1, x_2$ ve bul $\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2$.

Genelliği kaybetmeden vektörleri söyleyebiliriz $x_1$ ve $x_2$ birim vektörlerdir ve bunları şu şekilde temsil eder: $\hat{x_1}$ ve $\hat{x_2}$. Bunu yapmak istemiyorsanız, tüm vektörleri terimleriyle yeniden yazın.$\hat{x_1}$ ve $\hat{x_2}$. Yani mesela,$\hat{\beta_1}$ Olacak $\hat{\beta_1} ||x_1||$

Şimdi bu ifadeyi düşünün. Ortogonal izdüşümü$\hat{y_{12}}$ üstüne $x_1$ aynı olacaktır $\hat{y_1}$ ve ortogonal izdüşümü $\hat{y_{12}}$ üstüne $x_2$ aynı olacaktır $\hat{y_2}$.

Öyleyse, projeksiyon tanımına göre,

$$ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_1}|| $$

$$ \implies (\hat{\gamma}_1 \hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}).\hat{x_1} = ||\hat{y_1}||$$

$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1$$

$$ \implies \hat{\gamma}_1 + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1 \tag{1}$$

Benzer şekilde çözebiliriz $ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_2}|| $ almak

$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_2} + \hat{\gamma}_2 = \hat{\beta}_2 \tag{2}$$

İşte gidiyorsun. 2 denklemimiz ve 2 bilinmeyenimiz var.

Açıkçası değerini bilmeliyiz $\hat{x_1}.\hat{x_2}$yani aralarındaki açının kosinüsü, gerekli ilişkileri elde etmek için. Nerede olduğu durumda$\hat{x_1}$ ve $\hat{x_2}$ ortogonaldir, $cos \frac{\pi}{2}=0$ ve dolayısıyla verdiğin sonuç $\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$.