İzin Vermek $\mathbf a$ ve $\mathbf b$3D vektörler olabilir. Bulmak bir $3\times3$ matris $\mathbf R$ öyle ki $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.
Merhaba, başlığın dediği gibi bunu bulmaya çalışıyorum.
İzin Vermek $\mathbf a$ ve $\mathbf b$3D vektörler olabilir. Bulmak bir$3\times3$ matris $\mathbf R$ öyle ki $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.
egzersizlerime göre cevap
$$ R = \frac{1}{b^2} \begin{bmatrix} b^2_y+b^2_z & -b_xb_y & -b_xb_z \\ -b_xb_y & b^2_x+b^2_z & -b_yb_z \\ -b_xb_z & -b_yb_z & b^2_x+b^2_y \\ \end{bmatrix} $$
Bu çözüme ulaşamadım ve olabildiğince uzağa gitmeyi başardım
$$ a_{\bot b} = a - a_{||b} = a - \frac{a\cdot b}{b^2}b $$ ve yerini alabilirim $ a_{||b} $ matris çarpımı olarak ifadesi için $$ a_{||b} = \frac{1}{b^2}bb^{\mathrm T}a $$ ve bu bir dış ürün olduğundan $$a_{\bot b} = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix}$$
bundan alabilirim $$ Ra = a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix} $$ Bu, ulaşabildiğim kadarıyla ve son denklemi birinciye çıkarmak için gereken adımlardan emin değilim.
Herhangi birinin sağlayabileceği herhangi bir bilgi için teşekkürler.
Yanıtlar
Son birkaç adım olacak $$ \begin{align*} Ra &= a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}a\\ &= \frac{1}{b^2}\Bigg(b^2I - \begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ \end{align*}$$ Dikkat edin $b^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$. Yani$$\begin{align*} Ra &= \frac{1}{b^2}\Bigg(\begin{bmatrix}b_x^2 + b_y^2 + b_z^2& 0 & 0\\ 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 & 0\\ 0 & 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ &= \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}a\end{align*} $$ Bu nedenle $$ R = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}$$