İzin vermek $x_0$aşkın bir sayı olmak, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$. sınırı nedir $x_n$?

Question

İzin vermek$x_0$aşkın bir sayı olmak,$$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$sınırı nedir$x_{n}$?

Seçmek$x_0=\pi$, ve öyle görünüyor ki sınırı$x_n$dır-dir$-1$. Ama bunun kanıtı nedir$\pi$ve diğer sayılar? İzin vermek$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$Aşağıdakiler yardımcı olabilir.$$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$.

Answer 1

İzin vermek$f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$. Eğer$\lim x_n$var, o zaman$L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, öyleyse ayarla$$L=f(L)$$

Bunun üç çözümü var:$L = -3, -1, 1$. Doğru olanı bulmak için, etraftaki küçük bir mahalle için$-3$, var$|f(x)+3|>|x+3|$, Ve çevresinde$1$, var$|f(x)-1|>|x-1|$. her ikisi için$-3$ve$1$, fark daha da büyüyecek. Etrafında$-1$Öte yandan, sahip olduğunuz$|f(x)+1|<|x+1|$, bu yüzden fark küçülüyor (bu kesin bir kanıt değil, daha çok sezgisel bir kanıt).

Böylece, "çoğu" için$x_0$, birleşecek$-1$. Birleşmenin tek yolu$-3$veya$1$tam olarak sonlu sayıda yinelemede yakınsamasıdır. Ama bunun doğru olması için bir çözüm olması gerekir.$$f^n(x_0) = -3$$(veya$1$) bazı$n$, cebirsel olması gerektiği anlamına gelir. Bu nedenle, tüm aşkınsal için sınır,$-1$.