İzin Vermek $\{x_n\}$ sıralı olmak $(0, 1)$ öyle ki $x_n \to 0$. Dizinin $\{f(x_n)\}$ birleşir.

Aug 16 2020

Aşağıdaki sorunu çözmeye çalışıyorum:

Farz et ki $f: (0, 1) \to \mathbb R$düzgün bir şekilde süreklidir. İzin Vermek$\{x_n\}$ sıralı olmak $(0, 1)$ öyle ki $x_n \to 0$. Dizinin$\{f(x_n)\}$ birleşir.

Sanırım eğer hiç $f(x_n)$ yakınsarsa, yakınsaması gerekir $f(0)$ ancak bunun hangi teoremi (?) takip ettiğinden emin değilim.

İkincisi, aralıkla ilgilenmek deseydik $[0, 1]$ ziyade $(0, 1)$Nasıl yaklaşacağıma dair bir fikrim olduğunu düşünüyorum. Dan beri$f(x)$ tekdüze sürekli olacaktır $[0, 1]$ her biri için $\epsilon > 0$ bizde $\delta_\epsilon$ öyle ki eğer $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ sonra $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Dan beri,$x_n \to 0$ Sanırım her zaman bazılarını seçebiliriz $N \in \mathbb N$ öyle ki için $n > N$, $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$. Böylece hepimiz için buna sahip olurduk$n > N$, $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ bazı seçenekler için $\epsilon > 0$.

Ama burada açık aralıkla uğraşıyoruz $(0, 1)$ ziyade $[0, 1]$ ve bu nedenle, herkesin $\epsilon > 0$ bizde $\delta_\epsilon$ öyle ki eğer $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ sonra $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Bunun nedeni, tek tip süreklilik tanımının sadece şunu söylemesidir:

İzin Vermek $(X, d_X)$ ve $(Y, d_Y)$ iki metrik uzay ve izin ver $f: X \to Y$. Biz söylüyoruz$f$ herkes için tekdüze süreklidir $\epsilon > 0$ var $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ öyle ki herkes için $x, y \in X$, $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$.

Ancak şunu unutmayın: $f: (0, 1) \to \mathbb R$ nokta $0$ yalan söylemez $(0, 1)$! Bu yüzden, herkes için garanti değiliz$\epsilon> 0$, $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$, nerede $X = (0, 1)$ ve $Y = \mathbb R$ bu içerikte.

Bu kanıtı nasıl düzelteceğine dair bir fikrin var mı? Ayrıca neden$f(x_n)$ zorunlu olarak yakınsamak $f(0)$ Eğer $x_n \to 0$? Bu tekdüze sürekli fonksiyonların bazı özel özellikleri midir?

Yanıtlar

1 FormulaWriter Aug 16 2020 at 20:09

Düzgün süreklilik kullanarak göster $f$, bu $(f(x_n))_n$ bir Cauchy dizisidir. $f(0)$ ayarınızda tanımsız (etki alanı) $f$ dır-dir $(0,1)$) böylece sonuca varamazsınız $f(x_n) \to f(0)$. Ancak, o zamandan beri$\Bbb R$tamamlandığında, sıra bir sınır kabul eder. Tekdüze sürekli fonksiyonların sürekli olduğuna dikkat edin, bu nedenle bir fonksiyon$g$ üzerinde tanımlanmış $[0,1]$ tekdüze olarak süreklidir, bu durumda özellikle süreklidir, doğrudur $g(x_n)\to g(0)$.

csch2 Aug 16 2020 at 20:17

Yaklaşımlardan biri, eğer $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ eşit olarak süreklidir $(a,b)$, sonra $f$ benzersiz, tekdüze sürekli bir uzantıyı kabul eder $[a,b]$. Bu durumda, benzersiz bir şekilde bir değer tanımlayabilirsiniz.$f(0)$ öyle ki $f:[0,1)\to\mathbb{R}$düzgün bir şekilde süreklidir. O zaman sonuca varabilirsin$f(x_n)\to f(0)$ süreklilik ile.

CharlieChang Aug 17 2020 at 11:45

F (x) süreklidir, $\forall \epsilon, \exists \delta$ öyle ki ne zaman $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$.

İçin $x_n\to 0$, $\exists N,$ öyle ki ne zaman $n>N, |x_n-0|<\delta$.

Bu nedenle $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ birleşir.


Düzeltme: @FormulaWriter'ın dediği gibi, $f(0)$ açıkça tanımlanmadığı için, değiştirmek daha iyidir $f(0)$ yukarıda $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$.