Jacobi Eliptik Fonksiyonları içeren bazı integralleri hesaplayın
Takip eden integralleri değerlendirmek istiyorum $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}^3(u;k)\text{sn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{1}$$ ve $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}(u;k)\text{sn}(u;k)^2\text{cn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{2}$$ nerede $\text{sn}$, $\text{dn}$ ve $\text{cn}$Jacobi Eliptik snoidal , dnoidal ve knoidal fonksiyonlar,$K:=K(k)$ birinci tür ve sayının tam eliptik integralidir $k \in \left(0,1\right)$ modül denir.
Referansa zaten danıştım $[1]$bana yardımcı olacak bir formül arayışında, ama hiçbir şey bulamadım. Bu integrallerin açık bir formu var mı? Bana yardımcı olması için başvurabileceğim başka referanslar var mı?
$[1]$PF Byrd. MD Friedman. Mühendisler ve Bilimciler için Eliptik İntegrallerin El Kitabı. Springer-Verlag New York Heidelberg Berlim,$1971$.
Yanıtlar
Temel ilişkiler aracılığıyla (B&F 121.00) $\newcommand{sn}{\operatorname{sn}}\newcommand{cn}{\operatorname{cn}}\newcommand{dn}{\operatorname{dn}}$ $$\sn^2u+\cn^2u=1$$ $$k^2\sn^2u+\dn^2u=1$$ verilen ilk integrali şu şekle dönüştürebiliriz: $$\int_0^K\dn u(1-k^2\sn^2u)\sn^2u\,du$$ B&F 364.03 ile bunu, kolayca değerlendirilebilecek tamamen rasyonel bir integral olarak yeniden yazabiliriz: $$=2\int_0^1\left(\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2-k^2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^4\right)\frac1{1+t^2}\,dt=\frac{\pi(4-3k^2)}{16}$$ Verilen ikinci integrali dönüştürdüğümüzde elde ederiz $$\int_0^K\dn u(1-\sn^2u)\sn^2u\,du$$ bu noktada, bunun ilk verilen integralin özel bir durumu olduğunu anlıyoruz. $k^2=1$, bu yüzden sonucu hemen alıyoruz $\frac\pi{16}$.