Kaç tane$3\times 3$basamak içeren diziler$1$ile$9$artan sırayla var mı?
girişler bir$3 \times 3$dizi tüm basamakları içerir $1$vasıtasıyla $9$, her satır ve sütundaki girişler artan sırada olacak şekilde düzenlenmiştir. Böyle kaç tane dizi var?
Bu kombinatorik ile ilgili bir soru. Tablo kullanmayı ve kanca numaralarını kullanmayı denedim ama bundan sonra anlayamadım, lütfen bunu nasıl çözeceğinizi söyleyin. Normal kombinatorik kullanarak çözülürse benim için daha kolay olur. Ama kısıtlama yok. Seçim senin
Yanıtlar
Gösterimi kullanma$(A,B,C)$numarayı tarif etmek$C$içinde yer alan$A$sıra ve$B$kolon. Simetri nedeniyle, herhangi bir çözümün devrikliği (ana köşegen boyunca yansıma) farklı bir çözümdür, başka bir deyişle, eğer bir çözümümüz varsa:$$\{(A_1,B_1,1), (A_2,B_2,2), (A_3,B_3,3), (A_4,B_4,4), (A_5,B_5,5), (A_6,B_6,6), (A_7,B_7,7), (A_8,B_8,8), (A_9,B_9,9)\}$$o zaman bir çözümümüz de var:$$\{(B_1,A_1,1), (B_2,A_2,2), (B_3,A_3,3), (B_4,A_4,4), (B_5,A_5,5), (B_6,A_6,6), (B_7,A_7,7), (B_8,A_8,8), (B_9,A_9,9)\}$$
Her satır ve sütunun artan sırada olması gerektiğinden, çözümümüzün aşağıdakileri içermesi gerektiğini biliyoruz:$(1,1,1)$ve$(3,3,9)$.
Numarayı nereye koyacağımıza dair iki seçeneğimiz var.$8$. Simetriden dolayı, sadece çözümleri dikkate alacağız.$(3,2,8)$, ve sadece çözüm sayısını iki katına çıkarması gerekecek.
Şimdi nereye koyacağımıza dair iki seçeneğimiz var.$7$:
Dava 1:$(3,1,7)$
Numara$6$olarak kilitlenir$(2,3,6)$. Numara$5$içinde olabilir$(2,2,5)$veya$(1,3,5)$. Eğer$(2,2,5)$, ardından sayılar$2,3,4$kalan üç noktada olmak zorunda; hangisinin içinde olduğunu seçtiğimiz anda$(2,1,X)$, ardından geri kalanlar yerine kilitlenir ve üç çözüm verilir.$(3,1,7)$ve$(2,2,5)$. Eğer$(1,3,5)$, o zaman sahip olmalıyız$(2,2,4)$ve yalnızca ikisine de sahip olun$(1,2,2)$ve$(2,1,3)$veya$(1,2,3)$ve$(2,1,2)$diğer iki çözüm için.
Durum 2:$(2,3,7)$
Sayılar$5$ve$6$ana antidiyagenin üç noktasından ikisinde olmalıdır (sağ üst, orta kare ve sol alt). bu nedenle$3!=6$onları atamanın yolları. Hiçbirinin orta boşlukta olmadığı iki durumda, sayı$4$orta boşlukta olmalıdır ve sayılar için iki olası düzenleme vardır$2$ve$3$. Diğer dört durumun her birinde, sayının olduğu iki durum vardır.$4$ana antidiyagonalde kalan boşlukta ve olmadığı yerde. Bu, şu durumlarda toplam 16 düzenlemeyle sonuçlanır:$(2,3,7)$.
Bu nedenle, toplam düzenleme sayısı$2(3+2+2\cdot2+4\cdot3)=42$
bu$1$ve$9$sırasıyla sol üst ve sağ alt köşelere açıkça gitmelidir. Bunu görmek kolaydır$5$ikisine de bitişik olamaz$1$ya da$9$, dolayısıyla "karşı" köşegen üzerindeki üç noktadan birine girmelidir. Biraz gösterim icat ederek, olasılık sayısını şu şekilde yazabiliriz:
$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}+2\times\#\pmatrix{1&*&5\\*&&-\\&-&9}$$
nerede "$\#$" bir$3\times3$dizi ile çözümlerin sayısını belirtir$1$,$5$, ve$9$tahsis edilmiş noktalarda, her$*$arasında bir sayı olduğu anlaşılmaktadır.$1$ve$5$ve her biri$-$arasında bir sayı$5$ve$9$. "$2\times\,$" sahip olacak simetri içindir$5$sol alt köşede. Aynı simetriye göre,
$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}=2\times\#\pmatrix{1&*&*\\*&5&-\\-&-&9}$$
ve artık üçünü görmek çok kolay$*$' ler sayılarla doldurulabilir$2$,$3$, ve$4$sadece$3$farklı şekillerde ve aynı şekilde üçü için$-$sayılarla birlikte$6$,$7$, ve$8$, Böylece
$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}=2\times3\times3$$
Biraz farklı bir simetri argümanı bize şunu söylüyor:
$$\#\pmatrix{1&*&5\\*&&-\\&-&9}=2\times\#\pmatrix{1&*&5\\*&*&-\\-&-&9}$$
ve bu durumda şimdi$4$girebileceği tek bir nokta vardır:
$$\#\pmatrix{1&*&5\\*&*&-\\-&-&9}=\#\pmatrix{1&*&5\\*&4&-\\-&-&9}=2\times3$$
Her şeyi bir araya getirdiğimizde, toplam düzenleme sayısı
$$(2\times3\times3)+(2\times2\times\times2\times3)=18+24=42$$
Not (sonradan eklendi): Netlik ve kesinlik için, bize şunu söyleyen "biraz farklı" simetri
$$\#\pmatrix{1&*&5\\*&*&-\\-&-&9}=\#\pmatrix{1&*&5\\*&-&-\\*&-&9}$$
"karşı" köşegen boyunca bir yansımadır ve ardından (veya öncesinde) sayısal yer değiştirme gelir$k\to10-k$her biri için$k\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.