Kanıtla $f(x) = 0$ bazı $x$ sürekli bir fonksiyon olduğu varsayımı altında $g$ öyle ki $f + g$ azalmaz.

Question

İzin Vermek $f(0) > 0$, $f(1) < 0$. Kanıtla$f(x) = 0$ bazı $x$ sürekli bir fonksiyon olduğu varsayımı altında $g$ öyle ki $f + g$ azalmaz.

Bu problem için bir ipucu şunu söylüyor: aralığı ikiye böl $[0,1]$ orta noktanın doğru aralığını seçme $x$ doğru aralıkta $f(y)\ge 0$. Aksi takdirde sol aralığı seçin. Gibi oluşturacaksın$[a_n, b_n]=I_n$ öyle ki $a_n, b_n \rightarrow c$. Çıkıyor$c$istediğimiz nokta. İpucu daha da ileri gidiyor ve şunu söylüyor: 'Herkes için dikkat edin$n$, var $y_n \in [a_n, c]$ öyle ki $f(y_n)\ge 0$'. Kafam karıştığı yer burası. (Kanıtlamak için çok uğraştım ama yapamadım) Bu ifadenin (eğer varsa) bir kanıtını istemiyorum. Sadece bir akıl sağlığı kontrolü arıyorum. Olabilir mi$[a_n, c]$ aslında olmak $[a_n,b_n]$? Sadece bir yazım hatası mıydı?

Answer 1

İzin Vermek $n_m$ (muhtemelen sonlu) alt dizi olabilir, böylece $[a_{n_m},b_{n_m}]$sol aralıklardır. Bunu gör$f(y) < 0$ hepsi için $y \in [b_{n_m}, b_{n_{m-1}}]$. Bu şekilde, şu durumda olmalıdır:$f(y) < 0$ hepsi için $y \in \bigcup_m [b_{n_m}, b_{n_{m-1}}]$. Ve$(c,1] \subseteq \bigcup_m [b_{n_m}, b_{n_{m-1}}]$.

Answer 2

İzin Vermek $g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ sürekli bir işlev olacak şekilde $h:=f+g$ monotonluk artıyor $[0,1]$. Bunu gözlemleyin eğer$x\in(0,1)$, sağ sınır $f(x+)=\lim_{t\rightarrow x+}f(t)=\lim_{t\rightarrow x+}h(t)-g(x)$var. Benzer şekilde, sol el sınırı$f(x-)=\lim_{t\rightarrow x-}f(t)$ var.

İzin Vermek $A=\{x\in[0,1]\mid f(y)>0 \mbox{ for all } y\in[0,x]\}.$ Bunu not et $A\neq\emptyset$ (Çünkü $0\in A$) ve yukarıda $1$, yani $\xi=\sup A$var. Bunu göstermeye gidiyoruz$\xi\notin A$çelişki ile. Aksine varsayalım ki$\xi\in A$, sonra $f(\xi)>0$. Bunu not et$\xi<1$. Her biri için$x\in(\xi,1]$, $x\notin A\Rightarrow\exists y\in(\xi,x]$ öyle ki $f(y)\leq0$. Bir dizi seçebileceğimiz$(y_{n})$ içinde $(\xi,1]$ öyle ki $y_{1}>y_{2}>\ldots>\xi$ , $y_{n}\rightarrow\xi$, ve $f(y_{n})\leq0$. İzin vermek$n\rightarrow\infty$, sahibiz $f(\xi+)\leq0$. Bunu gözlemleyin$0\leq h(\xi+)-h(\xi)=f(\xi+)-f(\xi)<0,$ bu bir çelişkidir.

$\xi\notin A$ bir dizi olduğunu ima eder $(x_{n})$ içinde $A$ öyle ki $x_{1}<x_{2}<\ldots<\xi$ ve $x_{n}\rightarrow\xi$. Bu nedenle$f(\xi-)=\lim_{n}f(x_{n})\geq0$. Şimdi,$0\leq h(\xi)-h(\xi-)=f(\xi)-f(\xi-)$, yani $0\leq f(\xi-)\leq f(\xi)$. Sonunda bunu kanıtlamaya gidiyoruz$f(\xi)=0$. Çelişki ile kanıtlayın. Aksine varsayalım ki$f(\xi)>0$. İzin Vermek$t\in[0,\xi)$ keyfi ol o zaman $t$ üst sınırı değil $A$. Bu nedenle var$x\in A$ ve $x>t$. Özellikle$f(t)>0$ tanımıyla $A$ (Çünkü $x\in A$ ve $t\in[0,x]$). Bu yüzden kanıtlıyoruz$f(t)>0$ her biri için $t\in[0,\xi)$. Gerçeği ile birlikte$f(\xi)>0$, sahibiz $\xi\in A$bu bir çelişkidir.