Kanıtlamak $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 1$ yanlış
$$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 1$$
Verilen $\epsilon > 0$ $$\left|\frac{1}{x} - 1\right| < \epsilon.$$ Olarak yeniden yaz $$-\epsilon < \frac{1}{x} - 1 < \epsilon$$ $$-\epsilon + 1< \frac{1}{x} < \epsilon + 1$$ Epsilon çok küçükse, her iki tarafta da değer kazanıyoruz $1$, ancak işlev sıfıra yaklaşır, dolayısıyla her iki taraf da yanlıştır. Eğer$\epsilon$ büyük, o zaman sağ tarafta büyük bir pozitif değer alıyoruz, ancak $ n \in (0,1)$işlev de büyüyor. Dolayısıyla sağ taraf başarısız olur. Bu bir ses kanıtı mı? Ve evet ise, matematik sembolleriyle nasıl yeniden yazarım?
Yanıtlar
Kabul ederdim, çünkü çok küçük derken neyi kastettiğini biliyorum. Ancak, bu durumda ne demek istediğinizi tam olarak belirtmek en iyisidir. 1/2 kullanırsak ve izin ver$x>2$, sonra $1/x<1/2$. Bu yüzden sahip olamayız$1/x\to1$.
Dürüst olmak gerekirse, bu durumda sağ tarafın önemi yok. Yakınsamanın geçerli olmadığını göstermek için sadece bir eşitsizliği kırmamız gerekiyor. Ama her durumda her zaman için doğrudur$x\geq1$ o $1/x<1+\epsilon$yani doğru eşitsizlik geçerli.
Senin iddian $\frac 1x$ gider $0$kanıtlanması gerekir ve temelde kanıtlanması istenen şey budur; kanıtlamak$\frac 1x$ vermez gidin$1$.
Ve bunu kanıtlarsan$\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$ (ki bu - addenda'ya bakın) bu yeterli değil çünkü limit notasyonu $\lim_{x\to \infty}f(x) = L$ bir eşitlik gibi görünüyor , aslında herkes için$\epsilon > 0$ orada bir $N$ Böylece $x > N \implies |f(x) - L| < \epsilon$ve orada bilmiyorum edemez iki böyle olmaya$L$s. (ALBunu çok erken kanıtlayabilsek ve kanıtlayalım - bkz.
İşte bir ipucu: $|\frac 1x - 1| =|1-\frac 1x|= |\frac {x-1}x|$.
öyleyse $|\frac 1x - 1|<\epsilon$ sonra $-\epsilon < \frac {x-1}x < \epsilon$. Şimdi olarak$x\to \infty$ Varsayabiliriz $x > 1$ yani $-\epsilon x < 0 < x-1 < x\epsilon$
$x-x\epsilon=x(1-\epsilon) < 1$
Bir seçersek $\epsilon$ Böylece $0<\epsilon < 1$ sahibiz $x < \frac 1{1-\epsilon}$.
Bu bir üst sınır koyar $x$ bununla çelişen $x \to \infty$ yani bu imkansız.
======
Addenda:
İddia: $\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$.
Pf: Herhangi biri için $\epsilon >0$ İzin Vermek $N =\frac 1{\epsilon}$(olumlu olan). Eğer$x > N$ sonra $|\frac 1x -0| = \frac 1x < \frac 1N =\epsilon$.
İddia: If $\lim_{x\to \infty} f(x) = L$ ve $M \ne L$ sonra $\lim_{x\to \infty} f(x)= M$ doğru değil.
Kanıt: Eğer $L \ne M$ sonra $|L - M| > 0$. İzin Vermek$\epsilon = \frac {|L-M|}2$
Eğer $|f(x) - M| < \epsilon$ ve $|f(x) - L| < \epsilon$ sonra
$|L - M| = |(L - f(x)) + (f(x) - M)| \le |L-f(x)| + |f(x)-M| < \epsilon + \epsilon = |L-M|$
Yani $|L-M| < |L-M|$ki bu imkansız. Yani yok$N$ veya $N'$ böylece eğer $x >N$ ve $x > N'$ (yani $x > \max(N,N')$ sonra $|f(x)-L| < \epsilon$ ve $|f(x) -M| < \epsilon$ imkansız olduğu için.
......
Dolayısıyla, bu yazının metninde yaptığım gibi bunu kanıtlamak istemediyseniz, var olduklarında benzersiz olan sınırlar koyabilir ve kanıtlayabilirsiniz. Ve şu$\lim_{x\to \infty}\frac 1x =0$ ve şu $0 \ne 1$ yani iddia $\lim_{x\to \infty}\frac 1x = 1$ yanlış.
Verilen $\epsilon > 0$ wlog varsaymak $x>1$ ve $\epsilon<1$ sonra
$$\left|\frac{1}{x} - 1\right| < \epsilon \iff1-\frac1x < \epsilon \iff \frac1x>1-\epsilon \iff x<\frac1{1-\epsilon }$$
o zaman eşitsizlik herhangi biri için başarısız olur $x\ge M=\frac1{1-\epsilon }$.
Alternatif bir ispat yöntemi olarak, uygunsuz integrali düşünün $$I=\lim_{x\to\infty}\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{1}{t^2}\,dt$$
O zamandan beri biliyoruz $t^2\geq 0$ hepsi için $t\in\mathbb{R}$ve bu durumda, $t\geq 1>0$yani bizde var $1\geq \frac{1}{t^2}>0$, bu integranddaki fonksiyonun aralık üzerinde kesinlikle pozitif olduğunu ima eder $[1,\infty)$, dolayısıyla integral de kesinlikle pozitif olmalıdır, yani, $I>0$. Hesapladıktan sonra şunu görüyoruz$$I=\lim_{x\to\infty} -\frac{1}{t}\bigg|_{t=1}^{t=x} = \lim_{x\to\infty}-\frac{1}{x}+1=\lim_{x\to\infty}-(\frac{1}{x}-1)=-(1-1)=0\not>0$$
Öyleyse, varsayım $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=1$ yanlış.
İfadenin yanlış olduğunu göstermek için bir $\epsilon$ karşılık gelmeyen $x^\star$öyle ki her zaman $x \geq x\star$, $| \frac{1}{x} - 1 | < \epsilon$tutmaz. Varsayalım$L = 1$ ve izin ver $\epsilon = \frac{1}{2}$. Ne zaman düşün$x^\star \geq 1$, sonra \begin{align*} | \frac{1}{x} -1 | \geq \frac{1}{2} \end{align*}
her ne zaman $x \geq 2$. Ne zaman düşün$x^\star <1$, sonra \begin{align*} |\frac{1}{x} -1 | \geq \frac{1}{2} \end{align*} her ne zaman $x \geq 2$.
Bu nedenle, bir $x^\star$ için $\epsilon = \frac{1}{2}$. Bu nedenle, sınırın kesinlikle yanlış olması gerekir$1$.