Kategorisinden Grupların Yeniden Yapılandırılması $G-\mathbf{Sets}$; Bir Grup Homomorfizminin İnşası [kopya]

Dec 30 2020

Aşağıdaki ifadenin bir kanıtını bulmaya çalışıyorum ama bunu biraz zor buluyorum. Umarım bu sitedeki birinden yardım alabilirim. Ncatlab - Tannakian Duality'de kanıtladıkları şeyin bu olduğunu düşünüyorum (bu bölümde$G-\mathbf{Sets}$). Ama bu kanıtı gerçekten takip edemem:https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations.

Beyan. İzin Vermek$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ unutkan dinleyici ol, nerede $G-\mathbf{Sets}$ grup tarafından bir grup eylemi ile donatılmış setler kategorisidir $G$. Aşağıdaki gerçeğin kanıtını anlamaya çalışıyorum$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$

Ne yaptım

Bir harita oluşturmayı başardım $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ Bu, aşağıdaki kural ile yapıldı $\varphi(g)=\eta^g$, nerede $\eta_S^g:S\to S$ tarafından tanımlanır $\eta_S^g(s)=s\cdot g$. Bunun doğal bir dönüşüm sağladığını kontrol etmek basittir.$F$ -e $F$ ve aynı zamanda bir grup homomorfizmidir.

Ancak diğer yol benim için daha sorunlu. Bir harita bulmak istiyorum$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ Yani, doğal bir dönüşüm verildiğinde $\eta$, Bunu bir grup öğesine atamak istiyorum $g\in G$.

Doğal dönüşüm $\eta$ aşağıdaki değişmeli diyagram ile tanımlanır $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ nerede $\eta_X$ bir morfizmdir $\mathbf{Sets}$ ve $f:X \to Y$ kategorideki bir morfizmdir $G-\mathbf{Sets}$. Dan beri$F$ sadece unutkan bir işlevdir, yukarıdaki şema $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Endişeler ve Sorular

Doğal dönüşüm tanımında - bende var - herhangi bir $G-\text{Set}$ $X$, $\eta_X:F(X)\to F(X)$bir morfizmdir. Doğal$G-\text{Set}$ basitçe almak $X=G$ ve grup yapısı aracılığıyla kendi başına hareket etmesine izin vermek için: $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ Dolayısıyla değişmeli diyagram şimdi $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Not 1. Bir profesörün bana morfizmin$\eta_G$ tamamen kimlik unsuruna ne yaptığı tarafından anlaşılır $e\in G$ (bundan grup homomorfizmini nasıl inşa edeceğimi anlayabilmeliyim), $$e\mapsto \eta_G(e).$$

Yukarıdakilerin ne anlama geldiğini gerçekten anlamıyorum. Sanırım unutkan işlevci hakkında bir şeyi yanlış anladım. Unutkan işlevi gördüğümde$F:A\to B$Functor'un mevcut olan her şeyi unuttuğunu düşünüyorum. $A$, ama mevcut değil $B$. Bizim durumumuzda, grup eylemlerinin yapısını unutur. Ve bu nedenle, özellikle, bir olma özelliğini kullanamam$G$- eşdeğer harita. Sadece küme-teorik harita olmanın özellikleri.

Soru 1.

Eğer $\eta_G(e)=s$ve profesörün bana söylediklerini anlamlandırmak istersem, sanırım bir şeyi şu şekilde gerekçelendirebilirim $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$İkinci eşitlikte bir grup homomorfizmi olma özelliğini kullandım. Ama öte yandan, bunu bir grup homomorfizmi olarak ele almak istiyorsam, o zaman başlamak için yapmam gerektiğini düşünüyorum. Yani,$\eta_G$kimlikleri kimliklerle eşleştirmelidir (mantığımda tutarlı olmak için). Bu yüzden argümanımın başarısız olduğunu düşünüyorum.

Sorum şu: Ne demek istiyor?

Yukarıda yaptığım şeyin mantıklı olduğunu sanmıyorum. Ancak, kategorideki morfizmlerin özelliklerini kullanan başkalarını da gördüm.$A$, unutkan işlevini uyguladıktan sonra, dolayısıyla benim mantığım. Bir kez daha, ne yaptığımdan emin değilim. Bu yüzden çok iyi yanılıyor olabilirim.

Soru 2. Bu bana doğal bir dönüşümü nerede haritalandıracağımı nasıl söyler?

Verilen bir $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$, nerede haritalandırırım? Aşağıdaki gibi eşler miyim$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ Bunu yaparken, her doğal dönüşümü nerede haritalandıracağımı tam olarak söylediğimi biliyor muyum?

Soru 3. Sanırım ben de yapmadığım grup homomorfizmini oluştururken doğal dönüşümün tanımında değişmeli diyagramı kullanmak zorunda mıyım? Sanırım yukarıdaki önerim bunu yapmanın doğru yolu değil. Haritayı nasıl inşa edebileceğime dair herhangi bir fikrin var mı?

Bunu daha iyi anlamak için bu sitedeki birinden yardım alabilsem gerçekten çok mutlu olurum. Çünkü gerçekten kayboldum ve kafam karıştı.

En içten dileklerimle,

Joel

Yanıtlar

2 runway44 Dec 30 2020 at 09:10

Solu kullanacağım $G$-setler, doğru değil.

Soru 1 ve 3 .

Yazamazsın $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$biz varsaymıyoruz $\eta_G:G\to G$ bir grup homomorfizmidir, sadece bir morfizmidir $G$-setler. Bunu söylemek için kullanabilirsin$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ yine de (doğru grup eylemlerinde ısrar ederseniz sırasını tersine çevirirsiniz).

Değişmeli diyagramınızı tekrar düşünün:

$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$

Burada haritaya izin verebiliriz $G\to Y$ değerlendirme olmak$y$ harita $g\mapsto gy$ nerede $y\in Y$ sabittir (değerlendirme haritasının yörünge dengeleyici teoreminin oluşturulmasında da yararlı olduğuna dikkat edin - lifleri, $y$stabilizatörü). Daha sonra diyagramı takip ederiz.$e\in G$ sol üstte.

Sağ üst yolu takip edersek, $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$. Sol alt yolda,$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$. Bu nedenle eşitleyebiliriz$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$. Yani her otomorfizm$\eta$ bir $G$-Ayarlamak $Y$ sadece belirli bir grup öğesini uygulamaktır $\eta_G(e)\in G$.