"Katsayıların simetrisinden dolayı" kelimesinin anlamı nedir? $x=r$ sıfırdır $x^4+x^3+x^2+x+1$ sonra $x=\frac1r$ aynı zamanda sıfırdır ”

Question

Faktoring ile ilgili bu cevabı çalışıyordum $x^4+x^3+x^2+x+1$:

https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1

Yazar şöyle diyor: "Daha temiz bir cebirsel yaklaşım, katsayıların simetrisi nedeniyle, eğer $x=r$ sıfırdır $x^4+x^3+x^2+x+1$ sonra $x= {1\over r}$ aynı zamanda sıfırdır "

Ve sonunda yazar $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$

Soru $1$: Katsayıların simetrisinin anlamı nedir?

Soru $2$İçin aynı yaklaşımı yapabilir miyiz $x^4-x^3+x^2-x+1$? (Diğer sorumla alakalı olduğu için soruyorum:https://math.stackexchange.com/q/3792586)

Answer 1

Katsayılarının listesi$$x^4+x^3+x^2+x+1$$dır-dir $(1,1,1,1,1)$simetrik olan (eğer ters çevirirseniz, aynı listeyi elde edersiniz). Başka bir deyişle, türünün bir listesidir$(a,b,c,b,a)$. Ve eğer$r(\ne0)$ kökü$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$sonra$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$ve bu nedenle$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$çok; Diğer bir deyişle,$\frac1r$ aynı zamanda bir köküdür $(1)$. Yani, köklerden biri olmadığı sürece$\pm1$ (kendi tersine eşit olan tek sayılar), $(1)$şu şekilde yazılabilir : \ {multline} a (xr) \ sol (x- \ frac1r \ sağ) (X-R ') \ sol (x- \ frac1 {r'} \ sağ) = \\ = a \ sol başlar (x ^ 2- \ left (r + \ frac1r \ right) x + 1 \ right) \ left (x ^ 2- \ left (r '+ \ frac1 {r'} \ sağ) x + 1 \ sağ). \ {multline} son

Özellikle, $x^4-x^3+x^2-x+1$ olarak yazılabilir$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$Bulmak için $a$ ve $b$, sistemi çöz$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$

Answer 2

Orijinal soruyu cevaplamak için düşünme süreci şu şekilde gelir:

(1) Eğer $r$ bir çözüm $x^4-x^3+x^2-x+1=0$, sonra $r^4-r^3+r^2-r+1=0$.

(2) Her iki tarafı da $r^4$ sen alırsın $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$. Bu nedenle$1\over r$ aynı zamanda bir çözümdür.

(3) Dolayısıyla eğer $(x-r)$ polinomun bir çarpanıdır, o zaman $(x-{1\over r})$ aynı zamanda bir faktördür.

(4) Bu nedenle denklem şu şekilde yazılabilir: $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$

(5) Bu nedenle şu şekilde yazılabilir: $(x+ax+1)(x+bx+1)$