Katsayısı $x^7y^6$ içinde $(xy+x+3y+3)^8$

Aug 17 2020

Katsayısını bulun $x^7y^6$ içinde $(xy+x+3y+3)^8$.

Çözümüm:

Faktör $(xy+x+3y+3)^8$ içine $(x+3)^8(y+1)^8$. Bir almak için$x^7y^6$ terim, katsayısını bulmamız gerekiyor $x^7$ ilk faktörde ve $y^6$ikinci faktörde. Binom teoremini kullanarak, katsayısını elde ederiz$x^7$ olmak $17496$ ve $y^6$ olmak $28$. İkisini çarpmak bize şu cevabı verir:$489888.$

Ancak bu yanlıştır. Cevap anahtarının yaklaşımı şudur:

$x^7y^6 = (xy)^6 \cdot x = (xy)^5 \cdot x^2 \cdot y$. Şimdi,$(xy)^6\cdot x$ seçilerek oluşturulabilir $6$ $xy$'s, $1$ $x$, ve $1$ $3$, bu yapılabilir $\binom{8}{6}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 56$ yollar. $(xy)^5\cdot x^2\cdot y$ seçilerek oluşturulabilir $5$ $xy$'s, $2$ $x$'s ve $1$ $3y$, bu yapılabilir $\binom{8}{5}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 168$yollar. Böylece son katsayı$3(56+168) = 672$ yollar.

Yaklaşımlarını tamamen anlıyorum, ancak benimkinin neden işe yaramadığını anlamıyorum. Sadece elde etme yollarının sayısını hesaplamıyor muyuz$x^7$, ve $y^6$, sonra onları çarpın?

Yeterince ilginç bir şekilde, katsayısını hesapladığınızda fark ettim. $x^1$ (hangisi $x^{8-7}$) ve $y^2$ (hangisi $y^{8-6}$), alırsın $3\cdot \binom{8}{1} \cdot \binom{8}{2} = 672$, cevap bu. Ben$99\%$ elbette bu bir tesadüf değil, ama neden bu yöntem işe yarıyor ve diğeri değil?

WolframAlpha ile her şeyi iki kez kontrol ettiğim için hiçbir hesaplamayı yanlış yapmadığımı biliyorum; hata benim sürecimde olmalı.

Şimdiden teşekkürler!

(PuMaC 2017 Cebir B'den Soru)

Yanıtlar

4 AndrésAnguloG. Aug 17 2020 at 23:41

İçin faktör $x^7$ dır-dir $24$ ve için $y^6$ dır-dir $28$, çarpımlarının doğru cevap olduğu. Muhtemelen sadece iki terimli teoremi yanlış uyguluyorsunuz.

Bir eklenti olarak, yönteminiz tamamen doğrudur.