Kompakt bir kompleks manifolddaki her holomorfik fonksiyon yerel olarak sabittir？

Question

Biliyoruz ki eğer $X$ kompakt bağlantılı karmaşık bir manifolddur, daha sonra her holomorfik fonksiyon $X$sabittir. Şimdi varsayalım ki$X$bağlanmak zorunda değil, o zaman bağlı bir bileşen seçebiliriz. Bağlı bileşenin kapalı alt küme olduğunu ve kompakt bir kümenin her kapalı alt kümesinin de kompakt olduğunu biliyoruz. Yani bağlı bileşen de kompakttır, o zaman bağlı bileşendeki her holomorfik fonksiyonun sabit olduğu sonucuna varabiliriz. O zaman, her holomorfik fonksiyonun$X$ yerel olarak sabittir.

Sanırım bu doğru olmayabilir ama yukarıdaki ispatımda sorunun nerede olduğunu bulamıyorum.

Answer 1

Doğru. Bununla birlikte, insanlar "kompakt manifold" dediklerinde, neredeyse her zaman bağlı kompakt manifold anlamına gelir. Daha ziyade, bağlı olmayan kompakt manifoldlarla uğraşarak elde edilecek hiçbir şey yoktur, çünkü her bir bağlı bileşene bakabiliriz.

(Kompakt olmayan manifoldlar için, bu potansiyel olarak daha yanıltıcıdır, çünkü bizim gibi şeylerimiz var $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ ki bu iki manifoldun ayrık bir birleşimidir, ancak bunlar bir tür "dokunaklı" ve bir anlamda doğası gereği farklı $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$, Örneğin.)