Kompakt kümelerin sayılabilir ayrık birleşimi olarak bir uzay yazmak mümkün müdür?

Question

İzin Vermek $ (X,d)$ bir metrik uzay ol ve izin ver $\mu $ Radon ol $\sigma$-Borel'de sonsuz ölçü $\sigma$-cebir. Sayılabilir ayrık kompakt kümeler bulmanın mümkün olduğunu okudum$\lbrace K_n\rbrace_{\mathbb{N}}$ ve bir $\mu$-boş küme $N$ öyle ki $$ X=\bigcup_{\mathbb{N}}K_n\cup N. $$

İç düzenini kullanarak bazı sonuçlara ulaşmaya çalıştım $\mu$, ama hiçbir şey. Bu ifade doğru mu? Bunu nasıl ispatlayabilirim?

Answer 1

Buradaki temel varsayım şudur: $\mu$bir Radon ölçüsüdür, yani kompakt kümelere göre iç düzenlidir . Bu varsayım olmadan, bu doğru değildir, hatta$\mu$ sonludur (örneğin, tüm kompakt kümelerin sonlu olduğu sürekli ölçüleri destekleyen metrik uzaylar vardır).

Yazmak $X=\bigcup_n X_n$her biri nerede $X_n$ayrık Borel ve sonlu ölçülerdedir. Sonra yinelemeli olarak bir kompakt seçin$K_{n,m}\subseteq X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'}$ öyle ki $\mu((X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'})\setminus K_{n,m})<1/m$. Sonra$X_n\setminus \bigcup_{m} K_{n,m}$ boş ve bu nedenle $X\setminus\bigcup_{n,m} K_{n,m}$ boş ve $K_{n,m}$ açıkça ayrıktır.