Kontrollü Z eylemi, hedef kontrol kübitlerini değiştirerek neden değişmez?

Question

"Kuantum Bilgisayar Bilimi" kitabında, hata düzeltme kodunu açıklarken bu resmi kullanıyor ve "kontrollü-z'nin eylemi, hedef ve kontrol kübitlerini değiştirerek değişmez" diyor.

Bu, cZ'nin (kontrol ancilla kübiti ve hedef kod sözcüğü kübiti) eyleminin cz'ye (kontrol kod sözcüğü kübiti ve hedef ancilla kübiti) eşit olduğu anlamına mı gelir? Eğer durum buysa, neden böyle?

Anladığım kadarıyla | 1> Z | 0> (ilk kübit, kontrol kübiti) Z | 0> | 1> 'e eşit değil (ikinci kübit, kontrol kübitidir).

Answer 1

Rastgele bir iki kübit durumumuz varsa:

$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

sonra uyguladıktan sonra $CZ_{1 \rightarrow 2}$ ilk kübitten kontrollü olarak elde edeceğiz:

$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

çünkü kontrol işlemi, kontrol kübiti olduğunda çalışır $|1\rangle$ ve $Z$ kapısı, genliğin işaretini değiştirir $|1\rangle$ dolayısıyla devlet $CZ_{1 \rightarrow 2}$ eylem, işaretini değiştiriyor $|11\rangle$.

Şimdi eylemi $CZ_{2 \rightarrow 1}$:

$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

Aynı şey burada sadece $|11\rangle$benzer nedenlerden dolayı değiştirilmelidir. Bu, matrisler kullanılarak da görülebilir:

$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$