Koşullu normal dağılım [kopya]

Question

Koşullu iki değişkenli normal dağılımı bulmak istiyorum. Aynı dağılıma ve korelasyon katsayısına sahip iki bağımlı normal değişken vardır.$\rho$: $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. almak isterim$P(X|Y>M)$.

Şartlı beklentisini buldum $X$ verilen $Y$ den daha büyük $M$: $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$.

Ama koşullu varyans nedir $var(X|Y>M)$? bu mu$(1-\rho^2)\sigma^2 $durumunda olduğu gibi $var(X|Y=M)$, varyansın bağlı olmadığı $M$?

Ve koşullu dağılım $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$?

Answer 1

Koşullu varyans şunlara bağlıdır: $M$.

Koşullu varyans için kapalı bir form bulamıyorum, ancak yoğunluk için kapalı bir form bulabilirim. Bunu, koşullu olasılık tanımını kullanarak koşullu kümülatif dağılım işleviyle başlayıp ardından koşullu yoğunluğu bulmak için farklılaştırarak buldum.

Mathematica giriş formunu kullanan yoğunluk:

(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] - 
  ((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] + 
  (1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))

Koşullu ortalama için formülünüz doğru.

Koşullu varyansın şuna bağlı olduğunu biliyorum $M$ çünkü bunu sayısal entegrasyonla hesapladım.