Kuantum harmonik osilatör, sıfır noktası enerjisi ve kuantum sayısı n
Bir kuantum harmonik osilatörün enerjisi şu şekilde verilir:
\begin{denklem} E_{qho} = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\;\;\;\;\;\; n = 0,1,2,3,... \tag{1} \end{denklem}
Heisenberg'in belirsizlik ilkesinin, atomların şu an bile durma konumunda olmasına izin vermeyen sonuçlarını anlıyorum. $0$ K. Bu belirsizlik, atomların sahip olduğu bir miktar enerjinin nedenidir. $0$K - sıfır noktası enerjisi (ZPE). Çoğu metin, ZPE'yi aşağıdakilerle nasıl olduğunu belirterek tanıtmaktadır.$n = 0$ hala eşit bir kalan enerji var $\frac{1}{2}\hbar\omega$.
Dır-dir $n$sadece bir sayı mı? Eğer öyleyse, nasıl$n = 0$ sıcaklıkla alakası var mı?
Yanıtlar
Sıfır noktası enerjisinin burada bir önemi yoktur, çünkü referans enerjinizi her zaman özgürce seçebildiğiniz için, hamiltonian'ınızı şu şekilde değiştirebilirsiniz: $\frac{1}{2}\hbar\omega$ $$ H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-\frac{1}{2}\hbar\omega, $$ve sistemin fiziği aynı kalacaktır (dalga fonksiyonu aynı olacaktır). Bu dalga fonksiyonu, sıfırda (klasik mekanikte olduğu gibi) bulunan bir delta fonksiyonu olmadığından, bunun yerine daha geniş bir alana yayılmış olduğundan, bunu, örneğin, hamiltoniyenin bu öz durumundayken atomlarınızın hala titreştiği şeklinde yorumlayabilirsiniz.
Sorunuzla ilgili olarak: Evet, $n$sadece enerji öz durumlarını en düşükten en yükseğe etiketlemek için kullanılan bir sayıdır. Sıcaklık sadece dolaylı olarak oynar. Bir sıcaklığı tanımlamak için, ilişkili bir yoğunluk matrisi ile bir termal grup tanımlamanız gerekir (bunu doğru şekilde yapmak için birden fazla parçacığa ihtiyacınız vardır).$\rho$. Bunun için ortak bir seçim şu şekilde verilir:$$ \rho = \frac{1}{z}\sum_{i=1}^{\infty}|i\rangle e^{-E_{i}/kT} \langle i|, z = \sum_{i=1}^{\infty}e^{-E_i/kT} $$ nerede $|i\rangle$ enerji öz durumlarını gösterir ve $E_i$ karşılık gelen enerji özdeğerleri (bu durumda harmonik osilatör için). $T$ sıcaklık, $k$sadece bir sabit. Faktörün (bir dalga fonksiyonu genişleme katsayısına benzer şekilde) yorumlayabilirsiniz.$e^{-E_{i}/kT}/z$ durumda olma olasılığıdır $|i\rangle$. bunu ne zaman görebilirsin$T\rightarrow 0$, yalnızca en düşük enerji özdeğerine sahip katsayı kalacaktır (daha yüksek olan herhangi bir katsayı $E_i$-değer daha hızlı kaybolur). Bundan, genel bir sistem için (sadece harmonik osilatör örneğiniz değil) sistemin en düşük enerji durumunda olacağı çıkarılabilir.$T\rightarrow 0$ (bir termal grubunuz olduğu sürece).
Kuantum sayısı n basitçe harmonik osilatör tarafından verilen farklı enerji seviyelerini temsil eder.
$\mathbf{n=0}$belirli bir sıcaklığa karşılık gelmez, ancak diğer enerji seviyelerine göreli işgali belirli bir sıcaklığa karşılık gelir. Bir sistem sıcaklıkta yükseldikçe, daha yüksek enerji seviyeleri daha fazla sayıda işgal edilebilir. Aynı şekilde, 0 K'da sadece en düşük enerji seviyesinin işgal edilmesi şartı vardır.
Dır-dir $n$ sadece bir sayı mı?
$n$gerçekten bir sayıdır. Sadece bir sayı mı? Eh, bu bir kuantum sayısı , yani$n^{\textrm{th}}$ sistemin uyarılmış enerji seviyesi (yani $(n+1)^{\textrm{th}}$ sistemin Hamiltoniyeninin en küçük öz değeri, $n=0$en küçük özdeğere karşılık gelen ,$n=1$ikinci en küçük özdeğere karşılık gelen , vb.
Eğer öyleyse nasıl $n = 0$ sıcaklıkla alakası var mı?
Harmonik osilatör potansiyeline sahip bir sistemin yoğunluk matrisi genellikle Hamiltonian cinsinden verilir. $H$ tarafından:
\begin{denklem} \rho = \frac{e^{-\beta H}}{\textrm{tr}\left(e^{-\beta H}\sağ)},~~~~~~~~ \beta\equiv \frac{1}{k_BT}. \tag{1} \label{eq:boltzmann} \end{denklem}
Sol üstten sağ alta yoğunluk matrisinin köşegenleri, daha sonra size sistemi bulma olasılığını söyler. $n=0,1,2,\ldots$, yani yoğunluk matrisinin sol üst öğesi $p$, sistemin karşılık gelen enerji seviyesinde bulunma olasılığı $n=0$ dır-dir $p$. Ne zaman$T=0$ sistemin herhangi bir uyarılmış durumda olma olasılığına sahibiz ($n>0$) çürüyen üstel tarafından aşırı derecede bastırılır ve sistemi $n=0$seviye. Ne zaman$T$daha büyükse, heyecanlı durumlar daha büyük olasılıkla doldurulacaktır. Gibi$T$ yaklaşımlar $+\infty$, üstel 1'e yaklaşır ve olasılıkların her durum için eşit olduğu bir senaryoya yaklaşırız $n$.
Denklem 1 bu cevapta ayrıca:
- Denk. 1 bu cevapta: Adsorpsiyon bağlama enerjisini mutlak sıcaklığa dönüştürme
- Denk. 3 bu cevapta: Serbest Enerji Pertürbasyonu için Zwanzig denklemini kullanarak yakındaki mikro durumlarda (geçici olarak) serbest enerji farkını hesaplayabilir miyim?
- Denk. 2 bu cevapta: Kuantum harmonik osilatör, sıfır noktası enerjisi ve kuantum sayısı n
Dır-dir $𝑛$ sadece bir sayı mı?
Kısacası, $n$ kuantum harmonik osilatörünün enerji kuantum sayısıdır.
Eğer öyleyse nasıl $𝑛$=$0$ sıcaklıkla alakası var mı?
Özellikle, $n$=$0$harmonik osilatörün temel durumunda kalacağı anlamına gelir. Genellikle, bir kuantum sisteminin temel durumunun sıfır sıcaklıkta yaşadığı varsayılır. Bu nedenle, arasında bir bağlantı bulabilirsiniz.$n=0$ ve sıfır noktası.
İşte sıfır sıcaklık ve temel durum arasındaki ilişki hakkında konuşmak için bir yazı.
- https://physics.stackexchange.com/questions/294593/whats-the-relation-between-zero-temperature-and-ground-state-of-interacting-man
İşte termal denge hakkında konuşulacak boyutun ne olduğu hakkında konuşmak için bir yazı (Bu, sıcaklığı tanımlamak için önemlidir):
- https://physics.stackexchange.com/questions/311357/whats-the-size-to-talk-about-thermal-equilibrium
Yardımcı olabilir.
Diğer birkaç cevapta da belirtildiği gibi, $n$ sadece bir sayıdır ve farklı olan eyaletlerin nüfusu $n$ sıcaklığa bağlıdır.
Ancak önemli bir noktaya henüz değinilmemiştir. Kuantum harmonik osilatör genellikle nükleer hareket için çağrılır. Born-Oppenheimer nükleer potansiyel enerji yüzeyinin ikinci dereceden Taylor genişlemesinden kaynaklanır.$V({\bf R}) = V({\bf R}_0) + \nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} \cdot({\bf R}-{\bf R}_0)+\frac 1 2 ({\bf R}-{\bf R}_0)\cdot \nabla\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0}\cdot ({\bf R}-{\bf R}_0) + \mathcal{O}(|{{\bf R}-{\bf R}_0}|^3)$
birinci dereceden terimin ortadan kalktığı yer $\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} ={\bf 0}$ minimumda.
Devletlerin mekansal boyutu arttıkça $n$ile birlikte anharmonik etkilerin önemi de artmaktadır. $n$, veya artan sıcaklık ile.