Küçük veya eşit en büyük tam sayı $\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}$
Bu, TIFR 2020'nin doktora giriş sorusudur. Soru, açık bir cevap gerektirir. Kısmi toplamların Sayı Teorisi'ndeki Abel formülü kullanılarak değerlendirildiğini biliyorum, ancak bu formun serileri için daha iyi yöntemler olabileceğine inanıyorum. Herhangi biri düşüncelerini paylaşabilir mi?
Yanıtlar
Toplamı uygun belirli integrallerle karşılaştırın:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}>\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=\frac{4}{3}\cdot 999=1332$
Ayrıca:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}<\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}=1+\sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}<1+\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=1+\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=1+\frac{4}{3}\cdot 999=1333$
Yani, toplam arasında $1332$ ve $1333$ ve böylece ayrılmaz parçası $1332$.
İpucu: İşlevi düşünün$f(x):=\frac43\cdot x^{\frac34}$ ve bunu çıkarmak için Ortalama Değer Teoremini kullanın $$\frac{1}{\sqrt[4]{r+1}}=f'(r+1)<\frac{f(r+1)-f(r)}{r+1-r}<f'(r)=\frac1{\sqrt[4]{r}}\iff\fbox{$\ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [4] {r + 1}} <f (r + 1) -f (r) <\ frac1 {\ sqrt [4] {r}}$}$$ Artık neredeyse her şeyin teleskop olacağı gerçeğini toplayabilir ve kullanabilirsiniz.
İşte pis Piskoposların cevabını düşünmenin başka bir yolu. Bu türev bir cevaptır ve Kokuşmuş Piskopos'unki ile tamamen aynıdır. Gözlerimi kısıyorum ve ona farklı bir açıdan bakıyorum.
$c_1=\frac 1{(n+1)^{\frac 14}} \le \frac 1{x^{\frac 14}} \le \frac 1{n^{\frac 14}}=c_2$
$c_1 \le \inf_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le \sup_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le c_2$
$\int_{n}^{n+1} c_1dx \le \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \int_n^{n+1} c_2 dx$
Şimdi $\int_a^b C dx = C[b-a]$ yani $\int_{n}^{n+1} c_1dx=c_1= \frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ ve $\int_n^{n+1} c_2 dx=\frac 1{n^{\frac 14}}$ yani
$\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}= \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \frac 1{n^{\frac 14}}$
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}\le \sum\limits_{n=1}^{9999} \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx=\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx\le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
Belirtildiği üzere $\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx= 1332$
Ama ayrıca not edin
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ olarak yeniden dizine eklenebilir $\sum\limits_{n=2}^{10000}\frac 1{n^{\frac 14}}$ eşittir $\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}} + \frac 1{10000^{\frac 14}} - \frac 1{1^{\frac 14}}= \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9$.
Böylece sahibiz
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9\le 1332 \le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
Ve kolayca doğrulanırsa $M - 1< M-0.9 \le n \le M$ sonra $M< n+1 \le M+1$ ve bu yüzden $n\le M< n+1$ yani $\lfloor M\rfloor=n$.
Yani $\lfloor \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}\rfloor =1332$.