Kütle yoğunluğu fonksiyonları: noktalarda kütle yoğunluğu nasıl olur?
Genellikle kütle yoğunluğu, yük yoğunluğu ve diğer bu tür işlevleri tartışırız: $\rho(x,y)$ ultra ince plakalar için ve $\rho(x,y,z)$3 boyutlu nesneler için. Bu işlevlerin çıktısı için birimler, kütle veya yük / birim hacim gibi derler.$\frac{kg}{m^3}$ veya $\frac{C}{m^3}$. Tek bir noktada yoğunluğu kavrayamıyorum.
"Bir noktada" birim hacim başına kütle dediğimizde, noktanın hemen çevresindeki hacimde bulunan kütleyi kastettiğimizden şüpheleniyorum. Burada matematik anlamında "hemen etrafında" diyoruz, böylece hacim sıfıra yaklaşıyor. Bu şekilde, tüm noktaların bir araya gelmesi, hala tam nesnedir.
Bu doğru mu? Yoksa işareti mi kaçırdım?
Yanıtlar
Kütle yoğunluğu dediğimizde $\rho(x,y,z)$, herhangi bir sonlu bölgedeki kütlenin $R$ tarafından verilir $$ M(R) = \int_R \rho(x,y,z)\ dx\,dy\,dz. $$ Başka bir deyişle, kütle yoğunluğunu belirtmek $\rho(x,y,z)$ bir bölgeyi alan işlevi tanımlamanın özlü bir yoludur $R$ girdi olarak ve kütleyi döndürür $M(R)$ o bölgede çıktı olarak.
Bölge $R$keyfi olarak küçük olabilir, bu nedenle sezgileriniz doğru yoldadır. Eğer alırsak$R$Bir olduğu nokta , daha sonra kütle$M(R)$ sıfır, kütle yoğunluğu ne kadar büyük olursa olsun (sonlu olduğu sürece).
Madde (kütleyi oluşturan) ayrıktır. Moleküllerimiz, atomlarımız, daha küçük parçacıklarımız vb. Var ...
Uzayın kendisinin de ayrık olduğuna dair ipuçları var (Planck uzunluğuna bakın), ancak kesin olarak bilmiyoruz.
Sonra tekrar, bazen (neredeyse her zaman, aslında) maddeyi yeterince küçük ölçeklerde düzgün ve homojen olarak tahmin etmek ve gerçek sayıları kullanan elimizdeki tüm hesaplama aparatını kullanmak yararlıdır.
Yoğunluk bu şekilde skaler bir alan haline gelir.
Temelde haklısın. Bir noktanın içerdiği kütle (sürekli malzemelerden bahsettiğimizde) sıfırdır.
Bununla birlikte, matematiksel olarak şu şekilde tanımlanan küçük bir uzunluk, alan veya hacim alabiliriz.$dx$, $dA$veya $dV$ sıfıra yaklaşıyor . Bunlara uzunluk, alan veya hacim öğeleri denir. Kütlenin tamamını bulmak için, sonsuz küçük kütle yoğunluklarının tüm ürünlerini, 1-, 2- veya 3d durumunda kütlenin tüm noktalarındaki uzunluk, alan veya hacim öğeleriyle toplamak gerekir. Bu toplama, yoğunlukların ürünlerinin ayrılmaz bir parçası haline gelir.$\rho$ üç farklı unsurla (varsayarsak $\rho$ konumdan bağımsızdır $x$, $A$veya $V$):
$$m_{tot}=\int _x\rho dx,$$
bir çizgi üzerindeki bir kitle için
$$m_{tot}=\int _A\rho dA,$$
yüzeydeki bir kütle için ve
$$m_{tot}=\int _V\rho dV,$$
hacimdeki bir kütle için.
Kütle yoğunluğu kütle içindeki konuma bağlıysa, değiştirin $\rho$ tarafından $\rho (x)$, $\rho (A)$, ve $\rho (V)$.
Bir noktadaki kütle yoğunluğu iki şekilde tanımlanır:
- Hacim sıfıra düştüğünde noktayı içeren bir hacimdeki ortalama kütle yoğunluğunun sınırı ve
- kütle vermek için entegre edilmiş bir alan olarak.
Bu iki tanımın nasıl ve ne zaman aynı şey olduğunu anlamak, bir miktar ölçü teorisi gerektirir - bu sırada bunların aynı şey olmadığını öğrenirsiniz.
Nasıl aynı şey olduklarına dair bir örnek. Kütle yoğunluğunun (alan) sabit olduğunu varsayalım$1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$dikkate alınan her noktada. İzin Vermek$x$böyle bir nokta. Merkezlenen küreler için (basitlik açısından) küresel hacim ortalama yoğunluklarının sınırını hesaplayalım.$x$. İzin Vermek$r$ yarıçap olmak $\mathrm{cm}$. Ses,$V$ve kitle $m$, vardır \begin{align*} V(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ m(r) &= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}} 1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \text{.} \end{align*}
(Açık birimler bu kütleyi bir yoğunluk gibi gösterebilir. Bunu hatırlayın "$r$" içinde "$r^3$"açık birimlerin paydasındaki mesafe birimlerini iptal eden mesafe birimlerine sahiptir.)
Sonra kütle yoğunluğu $x$ dır-dir $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 1 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$. Sınırı şu şekilde almamız gerektiğine dikkat edin$r \rightarrow 0$. Kütlenin hacme oranını şu anda değerlendiremiyoruz$r = 0$çünkü bu sıfıra bölmeyi içerir. Şimdi limit aldığımız fonksiyonun bir grafiği. Cebirsel iptalden (sınırın altında izin verilebilir, ancak bu sınırın dışında değil), sabit bir fonksiyon görmeyi bekliyoruz.
Nokta $(0,1)$sıfıra bölme tanımsız olduğundan atlanır. Oradaki değere gizlice girmek için bir limit kullanıyoruz. Yoğunluk alanı değiştiğinde (ortalama yoğunluk etrafında küçük dalgalanmalar ve / veya daha yüksek veya daha düşük yoğunluklara doğru bir eğilim)$x$) eğride bu varyasyonları görürdük. Bu çok basit modelin böyle özellikleri yok.
Soru yalnızca beri, bakış başka nokta ekleyeceğiz görünüyor Ne soruyorsun tam Zeno'un ok paradoksu ile benzerlik göstermektedir: Sadece fizik o bölgede çıkageldi son derece gelişmiş birşeyle ya da onun gibi:https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#Arrow_paradox
Temel olarak, türevlere aşina olduğunuza eminim, ancak keyfi miktarlara uygulandıklarında sezgisel değillerdir . Elbette, belirli bir ∆ t süresi boyunca ortalama bir hızdan bahsedebiliriz ve süreyi tek bir anla sınırlandırırken, belirli bir anda anlık hızı elde etmemizi sağlayabiliriz - iyi tanımlandığını bildiğimiz yararlı bir miktar.
"Ama hıza sahip olmak için seyahat etmeniz gerekir ve zaman geçmezse seyahat edemezsiniz!" Evet, bir kütle noktasına bakarsanız sezgisel bir "anlık" yoğunluğun (dm / dV) olmamasıyla aynı anlaşma, ama yine de türevlerle çalışıyoruz ve onlar çalışıyor. :)