Laurent karekökün açılımı

Question

Aşağıdaki iki parçalı problemim var:

(a) Bunu kanıtlayın $(z^2 - 1)^{-1}$ analitik bir karekök var $\mathbb{C} - [-1,1]$

(b) Bir etki alanında (a) bölümünden bir analitik karekökün Laurent açılımını bulun $\{a: |z| > 1 \}$ortalanmış $z = 0$.

(A) bölümü için, mobius dönüşümünün $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ haritalar $\mathbb{C} - [-1,1]$ üstüne $\mathbb{C}-(-\infty,0]$. Dan beri$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ basitçe bağlıdır ve $F$ sıfır değil $\mathbb{C} - [-1,1]$, tek değerli bir analitik dalı tanımlayabiliriz $\sqrt{F(z)}$ açık $\mathbb{C} - [-1,1]$. Sonra hızlı bir hesaplama ile

$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$

analitik bir kareköktür $(z^2 - 1)^{-1}$ içinde $\mathbb{C} - [-1,1]$.

Ancak, (b) bölümüne nasıl devam edeceğimi bilmiyorum. Herhangi bir yardım memnuniyetle karşılanacaktır.

Answer 1

Kısmen $(a)$ Çünkü $|z|>1$, Eğer $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ logaritmanın ana dalını kullanabiliriz ve $\sqrt {w^2}=w.$ Sonra $Z=1/z^2$ ve iki terimli teoremin geçerli olduğunu not ederek $|z|>1,$ hesaplıyoruz

$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$

$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$

Eğer $\theta$ negatif gerçek eksende bulunur, ardından buna göre dal kesimini seçin ve yukarıdaki hesaplamayı tekrarlayın. $0<\theta<2\pi$.

Ben de alabileceğimizi düşünüyorum $(a)$temel yollarla. Tanım gereği var,

$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$. Bu işlevin şubede noktaları vardır$1$ ve $-1$ Ama değil $\infty$ böylece diyagramı uygulayabiliriz

ayar $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ ve $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ ve $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$

ve analitikliği doğrudan hesaplama ile kanıtlayın. Durumları dikkate almaya gelir.