Lie cebirlerinin izomorfizmlerine örnek
Bir eşbiçimli Yalan Cebiri örneği arıyorum. İki amaçlı bir doğrusal fonksiyon varsa 2 cebir izomorftur$g_1 \rightarrow g_2$ hangisi hepsini eşler $X,Y \in g_1$ sevmek $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$.
Dolayısıyla, düşünebildiğim 2 Lie cebiri, ${\rm I\!R}^3$ ve solda değişmeyen bir Vectorfield'ın Komütatör cebiri ancak daha önce belirttiğim gibi onları haritalayan bir fonksiyon düşünemiyorum.
Yanıtlar
Kolaydan zora doğru kabaca sıralanan örnekler:
İzin Vermek $\mathfrak g$herhangi bir Lie cebiri olabilir. Kimlik haritası$x \mapsto x$ bir izomorfizmdir $\mathfrak g$ kendisine.
İzin Vermek $V$, $W$ bir alan üzerinde vektör uzayları olmak $k$ve üzerlerinde Lie parantezlerini şu şekilde tanımlayın: $[v_1, v_2] = 0$ ve $[w_1,w_2]=0$ hepsi için $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$. Lie cebirlerinin$V$ ve $W$ (bu parantezlerle) izomorfiktir ancak ve ancak $V$ ve $W$aynı boyuta sahip. (Bu, doğrusal cebirin mutlak temeli olan vektör uzaylarının izomorfizmlerini anladığınız bir kontrol olmalıdır.)
İzin Vermek $k$ herhangi bir alan ol ve $\mathfrak{gl}_n(k)$ Herkes tarafından verilen Lie cebiri $n \times n$-matrisler bitti $k$matris komütatörü tarafından verilen Lie paranteziyle $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (nerede $\cdot$olağan matris çarpımıdır). İzin Vermek$g$herhangi bir ters çevrilebilir olmak $n\times n$matris bitti $k$yani bir element $\mathrm{GL}_n(k)$. Haritayı göster$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ bir izomorfizmdir $\mathfrak{gl}_n(k)$kendi kendine, yani bir oto morfizmi$\mathfrak{gl}_n(k)$.
İzin Vermek $\mathfrak{gl}_n(k)$önceki örnekteki gibi olun. Her bir matrisi negatif devrikine gönderen harita,$$ A \mapsto -A^T$$ bir izomorfizmdir $\mathfrak{gl}_n(k)$kendi kendine, yani bir oto morfizmi$\mathfrak{gl}_n(k)$.
İzin Vermek $k$ herhangi bir alan ol, $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ iki boyutlu $k$- temelli vektör alanı $v_1, v_2$ ve Yalan ayraç $[v_1, v_2] = v_2$. İzin Vermek$\mathfrak g_2$ başka iki boyutlu ol $k$- temelli vektör alanı $w_1,w_2$ ve $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$. Lie cebirlerinin bir izomorfizmini bulun$\mathfrak g_1$ ve $\mathfrak g_2$.
İzin Vermek $\mathfrak g_1$ ve $\mathfrak g_2$ bir önceki örnekteki gibi olun, ancak şimdi Lie parantezinin $\mathfrak g_2$ tarafından verilir $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ nerede $c \in k^\times$ ve $a \in k$. Yine bir izomorfizm bulun$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$. (Bu ve önceki Örneğin, bakınız, Classsifying 1- ve 2-boyutlu Cebirlerinin kadar isomorphism için , ne herhangi bir boyut, iki nonabelian Lie cebirlerin arasında açık bir izomorfizm (açık olarak tanımlanmış) elde etmek için$2$, İki Boyutlu Yalan Cebiri , İki Boyutlu Yalan Cebiri - Parantezi bilmeden ne biliyoruz? )
İzin Vermek $k$ herhangi bir karakteristik alan olmak $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ İzsizin Lie cebiri $2 \times 2$-matrisler (Lie parantezi örnek 3'te verildiği gibi). İzin Vermek$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ ("bölünmüş şekli $\mathfrak{so}_3$") ayrıca matris komütatörü tarafından verilen Lie paranteziyle. Bu iki Lie cebiri arasında bir izomorfizma bulun. ( Lie cebirlerini karşılaştırın .$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ ve $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, Doğrudan kanıtlayın$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, Üç Boyutlu Ortogonal Lie Cebiri ile Boyutun Özel Doğrusal Lie Cebiri Arasında Açık Bir İzomorfizm$3$ ve oradaki bağlantılar.)
İzin Vermek $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (üç boyutlu gerçek bir alt uzay $2 \times 2$karmaşık matrisler); Matris komütatörü tarafından verilen Lie paranteziyle (örnek 3'teki gibi) bunun bir Lie cebiri olduğuna kendinizi ikna edin. İzomorfik olduğunu göster$\mathbb R^3, \times$yani çapraz çarpım tarafından verilen Lie parantezli üç boyutlu gerçek Lie cebiri. (Karşılaştırın Neden bir faktör var$2$ izomorfizmde $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$? . Soruda bahsettiğiniz şey bu gibi görünüyor.)
Arasında bir izomorfizm bulun $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ ve çarpık simetrik $4\times 4$ matrisler bitti $\mathbb C$. (Bakınız , dört boyutlu ortogonal Lie cebiri ile boyut 3'ün özel doğrusal Lie cebirlerinin doğrudan toplamı arasındaki açık izomorfizm. )
Doğrudan çarpık simetrik toplamı arasında bir izomorfizm bulun $3 \times 3$ gerçek matrisler ve$4 \times 4$gerçek çarpık simetrik matrisler. ( Cf. Arasında izomorfizm$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ ve $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)
İçin $\mathfrak g$gerçek bir Lie cebiri, skaler genişleme / kompleksleştirme $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ iki doğrusal uzantısı ile verilen Lie parantezli karmaşık bir Lie cebiridir. $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$. Kolay: Şunun karmaşıklaştığını gösterin:$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ izomorfiktir $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Zor: İçin$\mathfrak{su}_2$ Örnek 8'de tanımlandığı gibi, karmaşıklaşmanın $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ aynı zamanda izomorfiktir $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Bonus: Buna rağmen, gerçek Lie cebirlerinin$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ ve $\mathfrak{su}_2$birbirlerine izomorfik değildir . ( Şunların karmaşıklaştırılması arasındaki kesin bağlantıyı karşılaştırın$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ ve $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$, Lie cebiri karmaşıklaşması mı$\mathfrak g_{\mathbb C}$ Lie cebir yapılarına eşdeğer $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$? ve muhtemelen çok daha fazlası.)
Ayrıca, Lie cebiri izomorfizmlerini Bulmayı deneyin .