Liflerin boyutlarına ilişkin bir teoremin ispatıyla ilgili şüphe.

Question

1. $f:X \rightarrow Y$ her biri için çeşitlerin bir morfizmi olması $p\in Y,\, \dim f^{-1}(p) = n$. Sonra$\dim X=\dim Y+n$. Bu teoremin kanıtında eğer değiştirirsem$X$afin açık bir küme ile neden fiberin boyutunun aynı olduğunu. Lütfen açıkla.
2. $f:X \rightarrow Y$ afin çeşitlerin bir morfizmi olması, öyle ki her biri için $p\in W,\, \dim f^{-1}(p) =n$ bazı yoğun alt küme için $W$ nın-nin $Y$. Sonra$\dim X= \dim Y+n$. Bunun bir kanıtını şu şekilde yazmaya çalıştım:

Tümevarım ile kanıtlama $\dim Y$. Ne zaman olduğunu kanıtlayacak bir şey yok$\dim Y=0$. İzin Vermek$X \subseteq A^{r}, Y \subseteq A^{m}$ kapalı alt çeşitler olun. $f=(f_{1},...,f_{m})$, nerede $f_{i} \in K[x_{1},...,x_{r}]$.

İzin Vermek $F \in K[x_{1},...,x_{m}] \setminus I(Y)$. $\quad Y^{'}=Y \cap Z(F)$.

$X^{'}=f^{-1}(Y^{'})=X \cap Z(F(f_{1},...,f_{m}))$. $\quad F(f_{1},...,f_{m}) \in K[x_{1},...,x_{r}] \setminus I(X)$.

$\widetilde{X}$ indirgenemez bir bileşeni olmak $X^{'}$. $\quad \dim \widetilde{X}=\dim X-1$.

İndirgenemez bir bileşen var $\widetilde{Y}$ nın-nin $Y^{'}$ öyle ki $\quad f(\widetilde{X}) \subseteq \widetilde{Y}$. $\quad \dim \widetilde{Y}=\dim Y-1$.

Düşünmek $f:\widetilde{X} \rightarrow \widetilde{Y}$.

Lifin aynı olduğu sonucuna nasıl varabilirim? Lütfen bunu çözün.

Answer 1

İndirgenemezliği burada varsayalım.

1. Afin açıkları yoğun olduğundan, bir afin açıkla sınırlandırarak, ya bir lifi tamamen kaçırırsınız ya da bir lif basitçe kendisinin başka bir yoğun alt kümesi haline gelir (dolayısıyla boyutu değiştirmez). Akılda bir resim için, önemsiz projeksiyonu düşünün$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$, her bir fiberin bir kopyası olduğu $\mathbb{P}^1$. Açık bir afinle sınırlarsanız$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$lif olur $\mathbb{A}^1$ veya boş (sonsuzun üzerinde).

2. Sezgisel olarak, cebir haritasını düşünürseniz $f^*:B=\Gamma(Y)\to A=\Gamma(X)$, sonra herhangi bir genel maksimal ideal $\mathfrak{m}$ bazı temel ideallerle eşleştirilmiştir $P$ bir zincire uzatılabilen $P\subset P_1\subset\cdots \subset P_n$. Dikkat edin$f^*$ enjekte edici olmalıdır (tam olarak değil, ama burada varsayalım), o zaman maksimal idealin bir zinciri vardır $P'_0\subset\cdots\subset P'_{\text{dim}(Y)}=\mathfrak{m}$ve bu asalların imgesi hala asaldır; yani uzun bir zincirin var$\dim(Y)+n$ içinde $\Gamma(X)$. Bunu tam bir kanıta tamamlamanın daha kolay olup olmadığından emin değilim ...