Lipschitz ile arasındaki ilişki nedir? $BMO$ boşluklar?

Question

İzin Vermek $0 < \alpha < 1$. Boşluk$\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ sıralı Lipschitz sürekli fonksiyonlarının $\alpha$ dır-dir

$$ \text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)=\{f: |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^{\alpha} \quad\text{ for a.e. }\,x, y \in \mathbb{R}^n\}. $$ En küçük böyle sabit $C$ denir $\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ normu $f$ ve ile gösterilir $\|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}$.

Bu norm aşağıdaki integral gösterime sahiptir:

$$ \|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}\thickapprox\sup_{B}\frac{1}{|B|^{1+\alpha/n}}\int_{B}|f(x)-f_{B}|dx, $$ nerede $f_{B}=\frac{1}{|B|}\int_{B}f(y)dy$. Açıktır ki$\alpha=0$ sağ tarafın tanımı $BMO$ normu $f$.

Bu gerçeklere göre Lipschitz uzayının şunları içerdiğini söyleyebilir miyiz? $BMO$Uzay? Lipschitz ile arasındaki ilişki nedir?$BMO$ boşluklar?

Answer 1

Hepsi "düzenlilik" işlevlerini tanımlayan bir grup boşluk tanımlayacağım. $\alpha$" bazı durumlarda.

Hölder uzayları: Burada$\alpha$ içinde olacak $[0,1]$. Tanımlamak$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ tüm işlevlerin alanı olmak $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ öyle ki $|f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^{\alpha}$ bazı $C>0$ dan bağımsız $x,y \in \Bbb T^n$. En küçük böyle sabit$C$ Tutucu seminormu olarak adlandırılır ve şu şekilde gösterilir: $[f]_{\alpha}$. Banach uzay normu$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ tarafından tanımlanır $\|f\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)}+[f]_{\alpha}.$ Ne zaman $\alpha = 0$ sadece anladık $L^{\infty}(\Bbb T^n)$. Eşdeğer olarak tanımlanabilir$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ işlevler kümesi olarak $f$ öyle ki $\sup_{x\in Q}|f(x)-f_Q| \leq C|Q|^{\alpha/n},$ tüm küpler için $Q \subset \Bbb T^n$, nerede $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, ve $|Q|$ Lebesgue ölçüsüdür $Q$. (Bu denkliği kanıtlamak zordur.)

Besov uzayları: Burada$\alpha$herhangi bir gerçek sayı olabilir. Herhangi bir işlev$f:\Bbb T^n \to \Bbb R$Littlewood-Paley ayrıştırması olarak adlandırılan kanonik bir ayrışmayı kabul ediyor $f = \sum_{j\ge 0} f_j$. Besov alanı$B^{\alpha}_{\infty,\infty}(\Bbb T^n)$ bu işlevlerden oluşur $f$ öyle ki $\|f_j\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)} \leq C2^{-\alpha j}$ bazı $C$ bağımsız olan $j$. En küçük sabit$C$Eşitsizliğin geçerli olduğu Besov normu denir. Bu, bir Banach uzay yapısını indükler.$B^{\alpha}_{\infty,\infty}$. Boşluk$B^1_{\infty,\infty}$Zygmund sınıfı olarak adlandırılır ve aynı şekilde tüm işlevlerin kümesi olarak tanımlanır$f$ öyle ki $$|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)| \leq C|h|,$$ ve $B^0_{\infty,\infty}$ Zygmund sınıfından fonksiyonların dağılım türevlerinden oluşur.

BMO alanları: Burada$\alpha$ içinde olacak $[0,1]$. Alanı tanımlayalım$BMO_{\alpha}(\Bbb T^n)$ tüm işlevlerin alanı olmak $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ öyle ki $\sup_Q \frac{1}{|Q|^{1+\alpha/n}}\int_{Q} |f-f_Q|dx <\infty$, sup tüm küplerin üzerinde nerede $Q\subset \Bbb T^n$, ve $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, ve $|Q|$ Lebesgue ölçüsüdür $f$. Norm$BMO_{\alpha}$ onu bir Banach uzayı yapan o üstünlük olarak tanımlanır.

Sürekli işlev alanları: Burada$\alpha=:k$ değerleri almalı $\Bbb N$. Sonra$C^{k}(\Bbb T^n)$ tüm işlevlerin kümesi olarak tanımlanır $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ öyle ki siparişin tüm kısmi türevleri $k$süreklidir. Norm, siparişe kadar tüm kısmi türevlerin tek tip normlarının toplamı olarak tanımlanır.$k$. Yine bir Banach alanı elde ederiz.

---

Öyleyse şimdi soru şu: tüm bu alanlar nasıl bağlantılı?

Teorem 1: Eğer$\alpha \in (0,1)$ sonra $$ Lip_{\alpha}(\Bbb T^n) = B^{\alpha}_{\infty,\infty} (\Bbb T^n)= BMO_{\alpha}(\Bbb T^n).$$ Tüm normlar eşdeğerdir.

Teorem 2: İçin$\alpha = 0$ aşağıdaki eklentilere sahibiz: $$C^0(\Bbb T^n) \subsetneq L^{\infty}(\Bbb T^n) \subsetneq BMO_0(\Bbb T^n) \subsetneq B^0_{\infty,\infty}(\Bbb T^n).$$Yani normların hiçbiri eşdeğer değil. İçin$\alpha=1$ uygun kapanımlar için karşılık gelen sıraya sahibiz.

Temel olarak Teorem 1'deki eşdeğerlikler her zaman ikili bloklar üzerinde bir hesaplamaya indirgenir. Başarısızlar$\alpha=0$ dizi gerçeği nedeniyle $\sum 2^{-\alpha n}$ için farklı $\alpha=0$.

Bu net değilse özür dilerim. Referanslarla güncellemeye çalışacak.