Maksimal antikainler, dağılım kafesleri açısından karakterize edilebilir mi?
Bu, en son sorusu olan Bir maksimal antikainin doğrulanması sorusundan esinlenmiştir.
Sonlu konum kümeleri ve sonlu dağıtımlı kafesler arasındaki ünlü dualite birkaç güzel formülasyona sahiptir. Bunlardan biri bir poset'e atar$P$ kafes $\mathscr D\!P$( Freyd tarafından icat edilen bu kelimenin hoşuma gittiğini düşünüyorum). Bir olumsuzluk$P$ bir alt küme $D\subseteq P$ doyurucu $p\leqslant q\in D$ $\Rightarrow$ $p\in D$. Bu, birleşim ve kesişim işlemlerine göre (sınırlı) bir dağıtım kafesidir. Tersine sonlu bir dağıtım kafesi$L$ biri poset'i atar $\Pi\!L$onun içinde asal . Bir element$p\in L$ asal, eğer $x\land y=p$ ima eder $x=p$ veya $y=p$ve asal sayılar bölünebilirliğe göre sıralanır: $p\leqslant q$ iff $p$ böler $q$, belirtilen $p|q$ yani $\exists x\ q=p\land x$veya eşdeğer olarak sadece $p\land q=q$. Bu, miras alınan sırayı tersine çevirdiği için aşırı bir karmaşıklık gibi görünüyor.$L$, ancak bu sadece bir kolaylık meselesidir: her türden eşdeğer tanımlara her zaman geçiş yapabilirsiniz; $P$ veya içinde $L$, asal sayıları birleştirme asalları ile değiştirmek veya ek değer olan nihai indirimleri tamamlayanlara veya her ikisine de vb. geçmek , vb.
Dualite iki şey söylüyor. Birincisi, o her$L$ asal sayılarının düşürülmesi örgüsü ile tanımlanabilir, yani bir eleman $x\in L$ benzersiz bir şekilde ana bölenleri tarafından belirlenir, $D_x:=\{p\in\Pi\!L\mid\exists y\ x=p\land y\}$; başka bir deyişle, her$x$onun ana bölenlerinin buluşmasıdır. Üstelik her olumsuzluk$D$ nın-nin $\Pi\!L$ dır-dir $D_x$ benzersiz için $x\in L$yani $x=\bigwedge D$.
İkincisi, dualite her pozun $P$ asal sayıları ile tanımlanabilir $\mathscr D\!P$. Yani,$p\in P$ ile özdeşleşir $\not\uparrow\!\!p:=\{q\in P\mid p\not\leqslant q\}$ ve her bir üssü $\mathscr D\!P$ dır-dir $\not\uparrow p$ benzersiz için $p\in P$. Dahası$p\leqslant q$ iff $\not\uparrow\!\!p\subseteq\not\uparrow\!\!q$.
Şimdi sonlu bir poset için $P$olumsuz sonuçları antikainleri ile bire bir yazışmada: $D$ biri antikain atar $\max\!D$ maksimal unsurlarının bir antikain $\alpha\subseteq P$ olumsuz sonuç $\downarrow\!\alpha$ aşağıdaki elemanların $\alpha$, $\{p\mid\exists\ q\in\alpha\ p\leqslant q\}$.
Sorum şu: Bu dualiteye başvurmadan soyut, cebirsel olarak, sonlu dağıtımlı bir kafesin unsurlarını karakterize edebilir mi? $L$hangi ikili konumunun maksimal antikainlerine karşılık gelir ?
Daha açık bir şekilde (umarım onu çevirirken herhangi bir hata yapmamışımdır): bunların asallardan bahsetmeden tamamen cebirsel bir karakterizasyonu var mı? $a\in L$ herhangi bir asal $p\notin D_a$ bir asal var $p'\in\max D_a$ ile $p'|p$?
Bu ilham verici soru için aslında sadece serbest sonlu dağıtım kafeslerini düşünmemiz gerekiyor , bu da sadece poz kümelerini dikkate almak anlamına geliyor.$P$bazı sonlu kümelerin tam güç kümeleri olup, dahil etme ile sıralanmıştır. Bir güç kümesindeki tüm maksimal antikainler kümesinin esas niteliği hakkında pek bir şey bilinmemektedir. OEIS'e göre bunların sırası şu şekilde başlar:$1,2,3,7,29,376,31764,...$
Maksimal boyutlu antikainlerden gelen tüm sonlu posetlerin sınıfları hakkındaki soru Haritası çok yakından ilişkili görünmektedir, ancak bu olası en büyük antikainlerle ilgiliyken benimki tüm maksimal antikainlerle ilgilidir, yani başka herhangi bir antikain içinde bulunmayan antikalar. Açıktır ki bu tür antikainler, özellikle güç setlerinde genel olarak çeşitli boyutlara sahip olabilir. Örneğin, her iki öğe antikain$\{\{1\},\{2\}\}$ ve tek element antikain $\{\{1,2\}\}$ güç kümesindeki maksimal antikalardır $\{1,2\}$.
Yanıtlar
Bu, cevabın kendisinden ziyade olası bir cevabın (topluluk wiki) açıklamasıdır. Herkes bunu denemeye ve gerçek bir cevaba dönüştürmeye davetlidir. Ya da (belli ki) onu terk edin ve gerçekten gerçek cevabı yazın.
Richard Stanley, maksimal antikainlerin $A$ nın-nin $P$ maksimum boole aralıklarıyla bire bir yazışmalarda $\mathscr D\!P$.
Genel olarak, verilen $D'\subseteq D$ ile $D,D'\in\mathscr D\!P$, aralığın $[D',D]$ kafes izomorfiktir $\mathscr D(D\setminus D')$, nerede $D\setminus D'$ alt kümesi $P$indüklenen kısmi düzen ile. Yani$[D',D]$ boolean ise ancak ve ancak $D\setminus D'$ bir antikandır.
Tersine, herhangi bir antikain $A\subseteq P$ böyle bir boole aralığına yol açar, ile $D=\downarrow\!A$ ve $D'=D\setminus A$. Ve (açıkça?) Maksimal antikainler, maksimum boole aralıklarına karşılık gelir.
Şimdi ilk olarak Harold Simmons tarafından yapıldığını gördüğüm bir yapım var. Bir eleman için$a$ herhangi bir tam Heyting cebirinde $$ \tau a=\bigwedge\{b\geqslant a\mid b\to a=a\}. $$ Sonra $[a,\tau a]$ alt ile en büyük boole aralığıdır $a$.
Açıkça tam bir ortak Heyting cebirinde çift tanımlı bir operatör vardır $\delta$ öyle ki $[\delta b,b]$ top ile en büyük boole aralığıdır $b$.
Misal. Bir topolojik uzayın kapalı kümelerinin kafesinde,$\delta$Cantor-Bendixson türevidir. Yani kapalı bir set için$C$, $\delta C$ sınır noktalarının kümesidir.
Yani tam bir bi-Heyting cebirindeysek, her iki operatör de kullanılabilir ve bir aralık $[a,b]$ maksimal boole'dur ancak ve ancak $a=\delta b$ ve $b=\tau a$.
Bu daha sonra görünüşte her iki öğenin de $a$ doyurucu $\delta\tau a=a$ ve elementler $b$ doyurucu $\tau\delta b=b$bir şekilde maksimal antikainlere karşılık gelmelidir. Özellikle cebirimizin olduğu durumda$\mathscr D\!P$ bazı poset için $P$, sonra $\tau\delta D=D$ için $D\in\mathscr D\!P$ bunun anlamı olmalı $\max D$ maksimal antikain iken $\delta\tau D=D$ bunun anlamı olmalı $\min(P\setminus D)$ maksimal bir antikain.