Maxwell denklemleri neden üst tanımlı değil? [çiftleme]
Burada wikipedia'da verilen tablodaki dört diferansiyel denklemi göz önünde bulundurun ve herhangi bir noktada yük dağılımı olmadığını ve dolayısıyla akım olmadığını varsayın. Ücret yoksa, dört denklem aşağıdakine indirgenir:
$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$
Son iki denklem bize hem manyetik hem de elektrik alanlarının sırasıyla zaman içinde nasıl değiştiğini söyler, bu nedenle bazı başlangıç manyetik ve elektrik alanları verildiğinde, her iki alanın gelecekteki herhangi bir durumunu belirleyebilmelidir. Bu, ilk iki denklemin bana gereksiz görünmesine neden oluyor ve böylece sistem fazlasıyla belirlenmiş görünüyor. Ancak açıkça gerekli oldukları için bir şeyleri kaçırıyor olmalıyım. İlk iki denklem sadece başlangıç koşulları mı?
Yanıtlar
İlk iki Maxwell denklemi statik elektrik ve manyetik alanları tanımlar. Bu denklemlerden bu tür alanların geometrik özelliklerini ve bu alanların ürettiği kuvvet çizgilerinin doğasını öğreniyoruz. İlki (şarj mevcut olduğunda)
$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$
her türlü yük dağılımı için elektrik alanın şeklini belirlememizi sağlar. Bu, elektrostatik çalışmaları için son derece önemlidir. Ayrıca, bu denklem Poisson denklemini türetmek için kullanılabilir,
$$\nabla^2 V = -\rho$$
elektrostatik potansiyeli belirlememizi sağlayan $V$çeşitli şarj dağılımları için. Coulomb yasasını türetmek için yukarıdaki Maxwell denklemini de kullanabiliriz (ancak bu yasa mutlaka bu denklemin doğrudan bir sonucu değildir). Poisson denklemi elektrostatik çalışmalarında da çok güçlü bir araçtır. Bu denklemin yarı iletken fiziğinde de güçlü uygulamaları vardır.
Bahsettiğiniz ikinci denklem,
$$\nabla \cdot \vec B = 0$$
bize çok önemli bir şey söyler, manyetik tek kutuplar yoktur. Bu denklemin matematiksel anlamı, manyetik vektör potansiyeli olması gerektiğidir.$\vec A$ nerede
$$\vec B = \nabla \times \vec A$$
Bu, güçlü bir matematiksel sonuçtur. Bu manyetik vektör potansiyeli, klasik elektrodinamik ve kuantum elektrodinamiğinde her yerde bulunur.