Mesafe nasıl hesaplanır $k=0$ sabitleyici kodu?
Bu, " Dengeleyici kodunun mesafesi nasıl hesaplanır? " Sorusunun devamı olarak görülebilir . Kabul edilen cevabı özetlemek: mesafe, setin minimum ağırlığıdır$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ nerede $S$ stabilizatör grubudur (tarafından üretilen $K_n$önceki soruda) ve $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ Pauli düzen grubunda normalleştiricidir $2^{2N+1}$ (nerede $N$= kübit sayısı; burada grubun gerçek sürümünü kullanarak).
Sorum şu: bu geçerli mi? $k=0$dengeleyici kodları? Her zaman tutmadığından ancak bir referans bulamadığından şüpheleniyorum ... çoğu durumda işe yarıyor gibi görünüyor, ancak bazı basit karşı örnekleri bulmak da kolay: GHZ durumunu alın$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$, ile $K_1=X_1X_2$ ve $K_2=Z_1Z_2$. Bu durumda,$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$yani set $E$boş. Bu süreçte belli ki bir şey bozuldu: Sanırım mesafe 2 olmalı. Burada neler oluyor?
Yanıtlar
Bu durumda unutmayın $k = 0$, dengeleyici 'kodu' bir $2^0 = 1$Hilbert uzayının boyutsal alt uzayı, yani tek bir sabitleyici durumdan oluştuğunu belirtir. Bunun, kodun 'mesafesi' gibi özellikler üzerinde bir şekilde olumsuz etkileri olacaktır.
"Kod mesafesi" sonuçta bir Pauli operatörünün minimum ağırlığı cinsinden tanımlanır $E$ Knill-Laflamme koşullarına göre 'tespit edilebilir' olmayan (ki bununla kimlikten ayırt edilebilir) $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ nerede $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$koddaki durumlar. 1 boyutlu bir alt uzay durumunda, sadece tek bir durum vardır$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$. Böylece alırdık$j,k \in \{ 0 \}$, böylece $\delta_{j,k}$ terim her zaman eşittir $1$. Ancak bu, basitçe tanımlayarak$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$Knill – Laflamme koşulu her zaman karşılanır. Böylece, kodun 'mesafesi' bir$k = 0$ boş küme üzerinde minimum olarak dengeleyici kodu.
Sabitleyici kodları için daha az soyut yaklaşımı kullanarak, kodun normalleştiricisinde bulunan Pauli operatörlerinin ağırlıklarını dikkate alarak, o zaman kod uzayını kendisiyle eşleştiren, ancak a ile orantılı olmayan operatörlerden bahsettiğimizi unutmayın. stabilizatör grubunun üyesi. Ama için$k = 0$ eyaleti haritalayan operatörler $\lvert \psi \rangle$kendi kendine zorunlu olarak stabilizatörlerle orantılıdır, bu nedenle böyle bir operatör yoktur. Yine, boş bir operatör kümesi üzerindeki minimum ağırlığı düşünüyoruz.
Geleneklerinize göre, mesafeden sonsuz olarak bahsetmek mantıklı olabilir ; ancak pratikte mesafenin tanımsız olduğunu söylemek daha iyi olacaktır.
Klasik gazetede https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdf, 10. sayfada, bir $[n,0]$kod, koddaki herhangi bir dengeleyicinin sıfır olmayan en küçük ağırlığı olarak tanımlanır. Verilen bu tanımın fiziksel yorumu, "An$[[n, 0, d]]$ kod bir kuantum halidir, öyle ki, bir eş evreliğe maruz kaldığında $[(d − 1)/2]$ koordinatlar, tam olarak hangi koordinatların çözüldüğünü belirlemek mümkündür. "