Ne unsuru $\text{End}(V)$ iz karşılık geliyor mu?

Question

Arka fon:

İzin Vermek $V$ bir alan üzerinde vektör uzayı olmak $k$. Soruda oluşturacağımız birkaç farklı kanonik haritayı anlatmama izin verin.

• Kanonik bir çift doğrusal harita var $V \times V^* \to \text{End}(V)$ gönderme $v , \varphi \mapsto [w \mapsto \varphi(w) v]$, dolayısıyla tensör ürününün evrensel özelliği doğrusal bir harita verir $\Phi: V \otimes V^* \to \text{End}(V)$. Eğer$V$sonlu boyutlu (fd), bu bir izomorfizmdir. İkili haritası$\Phi^* : \text{End}(V)^* \to (V \otimes V^*)^*$ o zaman aynı zamanda bir izomorfizmdir.
• Eğer $W$ başka $k$-vektör alanı ve kanonik iki doğrusal harita var $V^* \times W^* \to (V \otimes W)^*$ gönderme $\varphi , \psi \mapsto [v \otimes w \mapsto \varphi(v)\psi(w)]$. Yine eğer$V$ ve $W$fd, indüklenen harita da bir izomorfizmdir. Özel durumda ne zaman$W = V^*$ ($V$ fd), bu izomorfizmi adlandıralım $\Psi: V^* \otimes V^{**} \to (V \otimes V^*)^*$.
• Kanonik bir harita var $V \to V^{**}$ gönderme $v \mapsto \text{eval}_v$. Yine ne zaman$V$ fd bu harita bir izomorfizmdir, dolayısıyla bir izomorfizm elde ederiz $\Theta: V^* \otimes V \to V^* \otimes V^{**}$.
• Son olarak, tamamen bilgiçlikçi olmak gerekirse, kanonik bir izomorfizm var $\Gamma: V \otimes V^* \to V^* \otimes V$ basit tensörlerin sırasını değiştirerek verilir.
• Haritaları oluşturma (fd durumu), kanonik bir izomorfizmimiz var$F : \text{End}(V) \to \text{End}(V)^*$:

$$ \text{End}(V) \overset{\Phi^{-1}}{\longrightarrow} V \otimes V^* \overset{\Gamma} {\longrightarrow} V^* \otimes V \overset{\Theta}{\longrightarrow} V^* \otimes V^{**} \overset{\Psi}{\longrightarrow} (V \otimes V^*)^* \overset{(\Phi^*)^{-1}}{\longrightarrow} \text{End}(V)^*$$

• Fd durumunda, özel bir unsur vardır $\text{End}(V)^*$yani iz . Bir unsuru olarak$(V \otimes V^*)^*$ tensör kasılması ile verilir: $\Phi^*(\text{tr})(v \otimes \varphi) = \varphi(v)$.

Gerçek Soru :

Bu tamamen açık olmalı gibi görünüyor, ama biraz şaşırdım! Ne halt unsuru$\text{End}(V)$ iz, izomorfizm altında karşılık geliyor mu $F$? yani nedir$F^{-1}(\text{tr})$? Ve aslında, biz oradayken (veya belki de yol boyunca),$\Psi^{-1}(\Phi^*(\text{tr}))$? Ayırt edici bir öğeye sahip olmak garip geliyor$V^* \otimes V^{**}$. Sanırım görüntüsü$1_V \in \text{End}(V)$ ayrıca seçkin ... Hm.

Answer 1

Dediğiniz gibi, tek ayırt edici unsur $\text{End}(V)$ dır-dir $\text{id}_V$ve sonunda bunu elde edersiniz. Kontrol etmedim ama her şeyi bir temelde yazarak bunu doğrulayabilmelisin$e_i$ nın-nin $V$ ve karşılık gelen ikili temel $e_i^{\ast}$ nın-nin $V^{\ast}$. Sen alırsın

$$\text{id}_V = \sum_{i=1}^n e_i \otimes e_i^{\ast}.$$