Neden çok büyük ikame etmiyor $n$ içine $(1+1/n)^n$ Euler'in sayısına yaklaşan değerler verin $e$?
Euler'in numarası nedir diye sormak istiyorum $e$? Ben anlamıyorum
Bildiklerim:
$e$ dır-dir $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ gibi $n$ sonsuzluğa ulaşır
$e$ dır-dir $2.718281828\ldots$
Soru:
Girersem $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000$, Alırım $2.718523496\ldots$, hangisi daha yüksek $2.718281828\ldots$.
Eğer devam edersem ve girdim $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$, Alırım $3.035035207\ldots$ hangisi daha yüksek $2.718281828\ldots$.
Sanırım bir şeyi kaçırdım veya bir hata yaptım.
Formülü yanlış mı anladım? Formül ve$2.718281828$ sadece bir yaklaşımın üzerinde mi?
Herhangi bir açıklama, açıklama ve düzeltmeyi gerçekten takdir ediyorum. :)
Zaman ayırdığınız için çok teşekkür ederim!
Yanıtlar
İşte bir hata analizi. Eğer$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ sonra $$\ln a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\cdots\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}-\cdots.$$ Büyük için $n$, $\ln a_n$ çok yakın $$1-\frac1{2n}$$ ve bu yüzden $a_n$ yakın $$e\exp(-1/(2n))=e\left(1-\frac1{2n}+\frac1{8n^2}-\cdots\right).$$ Aslında $1/(8n^2)$ buradaki terim sahte $1/(3n^2)$ genişlemesindeki terim $\ln a_n$. Ama kaba bir tahmin$a_n$ bu mu $$a_n\approx e-\frac{e}{2n}.$$ Hata şundan biraz daha kötü $1/n$.
Alma $n=10^{12}$ söyle, anladın $11$ -e $12$ondalık basamakları düzeltin. Hesap makinesiyle alacağınız hata, şüphesiz, kayan nokta sayılarının temsilinin kesinlikten yoksun olmasından kaynaklanmaktadır. Muhtemelen alttan taşmıştır .
Bilgisayardaki kayan nokta matematiği, gerçek matematik hesaplamasıyla aynı değildir. Kullandığımız zaman$32$ sadece veren bit yüzer $23$ mantis parçaları, hakkında $7.2$ondalık basamaklar, herkesin endişelendiği bir sorundu ve sayısal analiz kurslarının büyük bölümleri sayısal kesinlik sorunlarından kaçınmaya odaklandı. Şimdi şamandıralar$64$ ile bitler $53$mantis bitleri sorun büyük ölçüde azaltıldı, ancak yine de bir sorunu olabilir. Çok küçük bir güce yükselttiğinizde düşünebilirsiniz$(1+\frac 1n)^n=e^{(\log(1+\frac 1n)n)}$ ve genişletin $\log(1+\frac 1n)$ Taylor serisinde.