Neden ${\rm Ult}(V,{\cal U})\vDash|[id]_{\cal U}|<j_{\cal U}(\kappa)$, ne zaman $\cal U$ bir $\delta$-tamamen ince ultrafiltre $\cal P_\kappa(\alpha)$?

Question

Aşağıdaki argüman Teorem 4.7'nin ispatında yer almaktadır. Bagaria-Magidor'un kağıt Grubu radikallerinde ve son derece kompakt kardinallerde .

İzin Vermek $\delta<\kappa$ sayılamayan kardinaller olabilir ve $\alpha$ sıralı olmak $\alpha\geq\kappa$. Varsayalım ki bir$\delta$- tam ince ölçü $\mathcal{U}$ açık $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)$, Bu bir $\delta$-komple ultrafiltre $\mathcal{U}$ açık $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)=\{x\subseteq\alpha:|x|<\kappa\}$ öyle ki $\{x\in\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha):a\in x\}\in\mathcal{U}$ her biri için $a\in\alpha$. İzin Vermek$j_{\mathcal{U}}:V\longrightarrow Ult(V,\mathcal{U})$karşılık gelen ultrapower gömme olabilir. Dan beri$\mathcal{U}$ dır-dir $\delta$-tamam, öyleyse $Ult(V,\mathcal{U})$sağlam temellere dayanmaktadır. Dahası, ayrıca$\delta$tamlık, kritik nokta $j_{\mathcal{U}}$ şundan büyük veya eşittir $\delta$. Şimdi sorum:

Neden $Ult(V,\mathcal{U})\vDash|[id]_{\mathcal{U}}|<j_{\mathcal{U}}(\kappa)$?

Şimdiden teşekkürler.

( Olsaydı etiket ultra güçlerini eklerdim , ama yok ve onu yaratacak itibarım yok)

Answer 1

Bunu hatırla $j_{\mathcal U}(\kappa)$ sabit fonksiyonun ultra güçteki eşdeğerlik sınıfıdır (geçişli çöküşü altındaki görüntü) $c$ değerli $\kappa$. Öyleyse, Los teoremine göre kanıtlanması gereken şey şudur:$|id_{\mathcal U}(a)|<c(a)$ için $\mathcal U$-Neredeyse hepsi $a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$. Yani,$|a|<\kappa$ neredeyse hepsi için $a$. Ama bu eşitsizlik aslında herkes için geçerli$a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$, tanımı gereği $\mathcal P_\kappa(\alpha)$.