Neden sahibiz $\hbar$ komütasyon ilişkisinde?
Planck sabitini elektromanyetik alan dağılım ilişkisinin eğimi olarak düşünelim, $E=\hbar \omega$. Planck sabiti elektron yükünden bağımsız değildir, ince yapı sabiti değişmeden kaldığı sürece her ikisi de yeniden ölçeklendirilebilir. Yine de, çoğu zaman her ikisini de kullanmak uygundur.
QED'i öğrenmeye başladığımızda, QED'e ulaşmadan çok önce, Planck sabitinin $i$kanonik nicemleme bağıntısında. Neden??
Beni yanlış anlamayın, osilatörün çalışmalarında görünmesi gerçeğinden tamamen iyiyim. Aynı birimlere sahip diğer miktarların ifade edildiği boyutsal bir miktar olabilir.
Ama bize tipik olarak çok farklı söyleniyor. "Bu sayı" ruhuyla$\hbar$ içinde $[q,p]=i\hbar$ değeri ... olan Planck sabitidir ve fiziğin kuantum olmaya başladığı ölçeği ayarlar ".
Sadece güçlü etkileşimli kuarklar ve gluonların olduğu, QED'siz bir dünya hayal edin. Üniversite öğrencilerine öğretirken komütasyon ilişkisine hangi sayıyı koyarlar?
Yanıtlar
Bu soru, fizik öğretimindeki temel zorluklardan birini göstermektedir. Önce daha kolay şeyler öğrenmemiz gerekiyor, çünkü biz insanız, ancak bu, mantıksal olarak net bir sırayla bir şeyler öğrenme arzusuyla doğrudan çelişiyor (önce en derin aksiyomlar ve sonsuza kadar her şeyi onlardan türetme).
Öğreniyoruz $E=\hbar\omega$Önce fotonlar için, çünkü daha kolay. Sonra relativistik olmayan QM'yi öğreniriz ve sonra QED'i öğreniriz. Ama aynı sabitin ortaya çıkmasının nedeni$\hbar$ hem de $E=\hbar\omega$ (fotonlar için) ve içinde $[q,p]=i\hbar$ relativistik olmayan QM (foton içermeyen) QED'den geliyor!
Bu özel durum için, işte olası bir çözüm: öğrenciler bunu öğrendikten sonra $E=\hbar\omega$fotonlar için, bunun sadece kütlesiz parçacıklar için değil, tüm kütleli parçacıklar için çalışan özel bir ilişki durumu olduğuna dikkat edin. Özellikle, aynı ilişki göreceli olmayan QM'deki büyük parçacıklar için de geçerlidir. Şimdi, relativistik olmayan QM hakkında bazı temel bilgileri tanıttıktan sonra, şu faktörün açıklayabiliriz:$\hbar$ gerçekten komütasyon ilişkilerinden gelir ve onlara gerçeğin nasıl türetileceğini gösterebiliriz. $E=\hbar\omega$ bu daha derin nedenden (büyük parçacıklar için).
Öğrenciler relativistik olmayan QM'yi öğrenmeye hazır olduklarında, daha kolay şeyler ilk dizisinin genellikle mantıksal olarak net olan diziden farklı olduğu genel gerçeğine zaten aşina olmalıdırlar, bu nedenle, göreceli olmayan QM'yi öğrendiklerinde Planck sabitinin nereden "geldiği" hakkında görüş. Ve öğrenciler faktörün nasıl olduğunu gördüklerinde$\hbar$ içinde $E=\hbar\omega$ relativistik olmayan QM'deki komütasyon ilişkilerinden ortaya çıkarsa, benzer bir şeyin daha genel olarak doğru olabileceği fikrine açık olmalıdırlar, bu nedenle şöyle bir ifadeye açık olmalıdırlar:
Daha sonra relativistik QED'i öğrendiğinizde, ilişkinin $E=\hbar\omega$ fotonlar için faktörünü alır $\hbar$ aynı kaynaktan: komütasyon ilişkileri.
Bu mükemmel bir çözüm değildir, çünkü öğrenciler "komütasyon ilişkilerinin" QED'de doğru olmayan "gözlemlenebilir pozisyon ile gözlemlenebilir momentum arasındaki" anlamına geldiğini varsayabilirler. Standart müfredatta garip bir şekilde eksik olan bu sorunun da kolay bir çözümü var: Göreceli olmayan QM'yi öğrettikten sonra ve QED'i öğretmeden önce, göreceli olmayan QFT'yi öğretin! Relativistik olmayan QFT birçok nedenden dolayı harika bir pedagojik köprüdür ve bu nedenlerden biridir. Matematiğin kolay olduğu relativistik olmayan QFT'yi kullanarak öğrencilere konum-momentum komütasyon ilişkisinin alan-alan komütasyon ilişkisinden nasıl ortaya çıktığını gösterebiliriz. Oradan, göreceli durumda neden katı bir pozisyon operatörü oluşturamadığımızı ve neden hala$E=\hbar\omega$ doğrudan alan-alan komütasyon ilişkisinden - nispeten kolay bir kavramsal adım olmalıdır.
Bu, özellikle QED'e bağlı değildir, ancak kuantum mekaniğinin genel özelliğinin bir sonucudur; momentum, konumun Fourier eşleniğidir veya alternatif olarak Schrodinger denkleminin çözümünden gelir. Doğal birimlerde Fourier dönüşümü terimi içerir$e^{ix\cdot p}$. Buradan, doğal momentum birimlerinin 1 / [uzunluk] ve benzer şekilde doğal enerji birimlerinin 1 / [zaman] olduğu sonucu çıkar. Göreliliğin doğal uzaklık birimlerinin zaman birimi ile aynı olduğunu göstermesi gibi ($c=1$), kuantum mekaniği, doğal enerji birimlerinin $\mathrm s^-1$. Başka bir deyişle,$\hbar$basitçe doğal birimler ve enerji (veya kütle) arasında bir dönüşüm sabitidir. Bu, Planck sabiti cinsinden kilogramın mevcut SI tanımında yansıtılır .