Neredeyse büyük küçük sıralı gruplar (3-manifold ile ilgili)
3 manifoldlu bir grubun neden $G$ bu neredeyse $\mathbb{Z}\times F$, $F$olmak siklik olmayan, serbest veya iki yüzey grubu, iki jeneratör ile ilgili bir sunum kabul etmez.
Bunlar, kapalı 3-manifoldların temel gruplarıdır. $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ geometri (yukarıdaki üstü çizili durumun boş olmayan bir sınıra karşılık geldiğini belirttiği için teşekkürler @ HJRW) ve diğer tüm geometrilerin, tüm temel unsurların bulunduğu öklid geometrisinin dikkate değer vurgusu ile ikinci derecedeki temel grupla örnekleri kabul ettiği gruplar sanal olarak $\mathbb{Z}^3$(ve Fibonacci manifoldları olarak iki örneği sıralayın). Böylece, 3-manifoldlu gruplar, gerçekte yüksek dereceli grupların yine de kendilerinin küçük olduğu örnekleri kabul eder. Elbette, iki jeneratördeki serbest bir grubun neredeyse keyfi olarak yüksek dereceli olduğu iyi bilinmektedir.
Bununla birlikte, Boileau & Zieschang , Teorem 1.1'e göre,$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ manifoldlar, taban yüzeyinin cinsine ve Seifert fibrasyonunun tekil liflerinin sayısına bağlıdır (ve en az 3'tür), bu nedenle neredeyse $\mathbb{Z}\times F$ grubu en azından aynı rütbede olmaya zorlar.
Bu alt grubun ortam grubunun sıralamasını aşağıdan sınırlandırmasının nedeni nedir? $\mathbb{Z}^3$yapamaz? Burada oyunda geometrik 3 boyutlu bir neden varsa mutlu olurum, ancak genel grup teorimi de tazelediğim için minnettar olurum.
Yanıtlar
Soru, Boileau ve Zieschang tarafından yazılan makalede Teorem 1.1'in yanlış yorumlanmasından kaynaklanıyor. Teorem 1.1 oldukça fazla sayıda durumu hariç tutar, özellikle 3 tekil fibere ve 0 cinsine sahip (tamamen yönlendirilmiş) kapalı Seifert manifoldları için geçerli değildir. Hariç tutulan bu Seifert manifoldlarından bazıları, derece hakkındaki iddianıza karşı örnekler sağlar.$\ge 3$.
Örneğin, dış cepheyi ele alalım $N$ bir $(p,q)$- yonca değil, önemsiz olmayan torus düğümü . Bu düğümün cinsi$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(çünkü 1. cinsi olan yoncayı hariç tuttum). Manifold$N$ elyafı olan çemberin üzerinde bir yüzey demetidir. $F$ cinsin bir kez delinmiş yüzeyi $g$. Bu fibrasyonun monodromisi sonlu bir düzendir (aslında, sıra şu şekildedir:$pq$) homeomorfizm $h: F\to F$. Böylece, sınırını daraltırsak$F$ işaret etmek için kapalı bir yüzey elde ederiz $S$ cinsin $g$ ve $h$ sonlu bir homeomorfizmi yansıtacak $f: S\to S$. Eşleme simidi$M=M_f$ bir Seifert tipi manifolddur ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ sınırının bir Dehn dolgusu ile elde edilir $N$. Seifert liflemesinin tabanı üç tekil noktaya ve cins 0'a sahip olacaktır: Tekil liflerden ikisi$N$ ve biri bağlı katı simitten gelir $\partial N$Dehn dolumumuzun sonucu olarak. (Bir hiperbolik yüzeyin sonlu sıralı homeomorfizminin haritalama simidinin Seifert tipi bir manifold olduğu genel bir gerçektir.${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) Gruptan beri $\pi_1(N)$ 2 oluşturulmuştur, bölüm grubu $\pi_1(M)$ ayrıca 2 üretilir.