Olağandışı Deformasyon Geri Çekilmesinin Sürekliliği

Question

Sayılabilir bir topolojik uzay zinciri verildiğini varsayalım $X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \cdots$ ve izin ver $X = \bigcup_n X_n$; ve varsayalım ki her biri için$n$ bir deformasyon geri çekilmemiz var $F_n : X_{n+1} \times I \to X_n$. Bir deformasyon geri çekilmesi oluşturmak istiyorum$X$ -e $X_0$ icra ederek $F_n$ zaman aralığında $[1/2^{n+1}, 1/2^n]$her noktasını tutarak $X_{n+1} - X_n$ bu aralığın dışında sabit.

Bu haritanın sürekli olduğunu göstermekte güçlük çekiyorum. Sürekliliği sağlayabiliriz$X \times (0,1]$ Yapıştırılan lemmadan kolayca, ancak bunu nasıl genişleteceğimi bilmiyorum. $X \times I$, aralığın başlangıcında işlevin garip davranışı nedeniyle.

DÜZENLEME: Haritanın genel olarak sürekli olmadığını öğrendi, öyleyse $X$ bir CW kompleksi olmak ve $X_n$ilişkili iskelet.

Answer 1

Genel olarak bu doğru değil, bu yüzden kanıt için hangi ekstra hipotezlere ihtiyaç duyulduğunu ve aklınızdaki uygulama ne olursa olsun doğru olduğunu bulmanız gerekecek.

Basit bir karşı örnek için $$X = S^1 = \{(\cos(2 \pi \theta),\sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (0,1]\} \subset \mathbb R^2 $$alt uzay topolojisi ile. Ve sonra al$$X_n = \{(\cos(2 \pi \theta), \sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (1/n,1] \} \subset X $$ayrıca alt uzay topolojisi ile. Her biri$X_n$ deformasyon geri çekilir $(1,0)$, fakat $S^1$ deformasyon geri çekilmez $(1,0)$.

---

Genel olarak işe yaradığı ilginç ve geniş bir durumu, yani $X$bir CW kompleksidir. CW topolojisi, sürekli genişlemenin$X \times [0,1]$ var.