Olduğunu göstermektedir $f(x) = x|x|$ sürekli ve farklılaştırılabilir mi - çözüm doğrulama?
Çözüm olmadan yaptığım başka bir egzersiz.
Bunun doğru olduğundan şüpheliyim, lütfen beni düzeltin :)
İzin Vermek $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ tarafından verilmek $f(x):=x|x| .$ Olduğunu göstermektedir $f$ süreklidir ve farklılaşabilir $\mathrm{R}$
$$ \begin{array}{l} \text { Continuous: } \lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c) \\ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow c} x \cdot|x| &=\lim _{x \rightarrow c} x \cdot \lim _{x \rightarrow c}|x|=f(c) \\ &=\lim _{x \rightarrow c} c \cdot \lim _{x \rightarrow c}|c|=f(c) \\ &=c \cdot|c|=f(c)=c \cdot|c| \end{aligned} \end{array} $$ Yani $f(x)$ sürekli
Türevlenebilir: göster $f^{\prime}(x)$ zaten var $x \in \mathbb{R}$ : $$ \begin{array}{l}\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x \cdot|x|)+h-(x \cdot|x|)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h}=1\end{array} $$ $$ So f(x) \text { is differentiable } $$
Yanıtlar
Süreklilik kısmı doğrudur, ancak farklılaştırılabilirlik kısmı değildir. Bunu not et$f(x)=x^2$ dır-dir $x\geqslant0$. Bu gösteriyor ki$f'(x)=2x$ dır-dir $x>0$ ve doğru türevi $f$ -de $0$ dır-dir $0$. Aynı argümanla,$f'(x)=-2x$ dır-dir $x<0$ ve sol türevi $f$ -de $0$ dır-dir $0$. Yani,$f$ farklıdır $\Bbb R\setminus\{0\}$ ve sol ve sağ türevlerden beri $0$ her ikisi de eşittir $0$, $f'(0)=0$. Özellikle,$f$ ayırt edilebilir $0$ çok.
Alternatif olarak,
için $x<0$, $f(x)=-x^2$türevlenebilir olan;
için $x>0$, $f(x)=x^2$türevlenebilir olan;
-de $x=0$, $\dfrac{f(h)-f(0)}h=\pm h\to 0$ işlevin farklılaştırılabilir olduğunu doğrular.
Türevlenebilir bir işlev de süreklidir.
İçin $x\neq 0$, $$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x|x+h| + h|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x(|x+h|-|x|)+h|x+h|}{h}\\&= \lim_{h\to 0}\frac{x(|x+h|-|x|)}{h} + \frac{h|x+h|}{h}\\&=\bigg[x\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}\bigg]+|x|\\&=\frac{x^2}{|x|}+|x|\\&= 2\frac{x^2}{|x|}\\&=2\bigg|\frac{x^2}{x}\bigg|\\&=2|x|\end{align*} $$
Sol ve sağ el sınırları için $$f'(x)=\frac{x^2}{|x|}+|x|$$ gibi $x\to 0$, ikisi de git $0$, yani $f(x)$ ayırt edilebilir $0$.
Not: İçin $g(x)=|x|$, $$\begin{align*} g'(x)&=\lim_{h\to 0} \frac{|x+h|-|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2}-\sqrt{x^2}}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&= \lim_{h\to 0} \frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}\\&= \frac{2x}{2|x|}\\&=\frac{x}{|x|}\end{align*}$$