Örnekleme ve yeniden yapılandırma ile uç durum.

Question

Daha önce, burada ve burada bu soruyla uğraştığımı biliyorum , ancak herhangi birinin hile çantasında en basit ve özlü kanıtı var mı:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n \, \operatorname{sinc}(t-n) = \cos(\pi t) $$

nerede

$$ \operatorname{sinc}(x) \triangleq \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \qquad & x \ne 0 \\ \\ 1 & x = 0 \\ \end{cases} $$

ve $t\in\mathbb{R}$ ve $n\in\mathbb{Z}$ ?

Her iki tarafın da eşit bir işlev gördüğünü gösterebilirim. $t$ ve her iki tarafın da anlaşması $t$bir tamsayıdır. Ama her gerçek için eşitliği göstermenin en basit yolu nedir?$t$ ?

Bu, biz Neandertal elektrik mühendisleri için bir araya getirmek istediğim bir şey. (ve teşekkür ederim.)

Answer 1

Bu cevap büyük ölçüde OP'nin ilgili bir sorusuna verilen bu (çok kısa) cevaba dayanmaktadır .

İçin unutmayın $t\in\mathbb{Z}$eşitliğin gösterilmesi basittir. İlginç durum,$t$tamsayı değil. Aşağıdaki türetme, tamsayı olmayan gerçek değerleri için geçerlidir.$t$.

Kullanma $\cos(x)\sin(y)=\frac12\big[\sin(x+y)-\sin(x-y)\big]$ yazabiliriz

$$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\textrm{sinc}(t-n)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\cos(n\pi)\frac{\sin[\pi(t-n)]}{\pi(t-n)}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{t-n}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{t-n}+\frac{1}{t+n}\right)\right]\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}\right]\tag{1}\end{align}$$

Şimdi şu sonuca ihtiyacımız var:

$$\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}=\pi\cot(\pi t)\tag{2}$$

ki bulunabilir burada , burada ve burada , hangi Sinc fonksiyonunun bilinen sonsuz ürün gösterimi elde edilebilir

$$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)\tag{3}$$

Birleştirme $(1)$ ve $(2)$ istenen sonucu verir.

Answer 2

Toplamı nasıl anladığınıza biraz dikkat etmelisiniz, ancak anladığınızı varsayarak $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n$ sınır olarak $N\to\infty$ nın-nin $\sum_{-N\le n\le N}(1-\frac{|n|}{N})a_n$ (Cesaro toplamı, ikincisi mantıklı olduğunda her zamanki ile aynı sonucu verir), sadece yazabilirsiniz $$ (-1)^n\rm{sinc}(t-n)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi i n(x+\frac 12)}e^{2\pi i xt}\,dx $$ böylece Cesaro kısmi toplamları $\int_{-1/2}^{1/2}K_N(x+\frac 12)e^{2\pi i xt}\,dx$ nerede $K_N(z)=\sum_{-N}^N(1-\frac{|n|}{N}) e^{-2\pi i nz}$olduğunu Fejer çekirdeği . Şimdi bilmek istediğin şey bu$K_N$ simetriktir, negatif değildir, $1$-dönemsel, toplam integrale sahiptir $1$ dönem boyunca ve düzgün bir şekilde $0$tamsayıların keyfi olarak küçük bir mahallesinin dışında. Yani, büyük için$N$, $K_N(x+\frac 12)$ neredeyse olan bir işlevdir $0$ açık $(-\frac 12+\delta,\frac 12-\delta)$ herhangi bir sabit için $\delta>0$ ve neredeyse integrali var $\frac 12$ her aralıkta $[-\frac 12,-\frac 12+\delta]$ ve $[\frac 12-\delta,\frac 12]$. Buna benzer bir şeyi entegre ettiğinizde$e^{2\pi i xt}$ bitmiş $[-\frac 12,\frac 12]$, yaklaşık olarak alacaksın $\frac 12(e^{-\pi it}+e^{\pi i t})=\cos(\pi t)$.

Bu argümandaki yaya olmayan tek adım, olağan toplamadan Cesaro'ya geçmektir. Bundan kaçınabilirsiniz, ancak bunun yerine Dirichlet çekirdeğini alırsınız ve sınıra son geçiş biraz daha az belirgin olacaktır (çekirdek, aralığın büyük bölümünde tekdüze olarak bozulmaz, bunun yerine orada daha hızlı ve daha hızlı salınır. Sonunda yalnızca uç noktalara (küçük mahallelere) bakmanız gerektiğini göstermek için Riemann-Lebesgue lemması gibi bir şey kullanacaksınız.