P -adik cebirsel sayılar nelerdir?

Question

"Verildi $p$, unsurları nelerdir $\mathbb{Q}_p$ cebirsel bitti $\mathbb{Q}$? "

Bunu periyodik olarak merak ediyorum ve aynı şeyi soruyor gibi görünen şu matematiksel akış sorusuyla karşılaşıyorum . Seçilen cevap (görebildiğim gibi) bu soruyu yanıtlamıyor gibi görünüyor ve "p-adic cebirsel sayılar" araması bu soruyu en iyi sonuç olarak döndürüyor. O noktada pes ediyorum ve unutup tekrar deneyene kadar bekliyorum. O yüzden bu sefer soracağım:

(Daha uygun) bir karakterizasyon biliyor musunuz? $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ veya "için referanslar var"$p$-adic cebirsel sayılar? "

"Gerçek cebirsel sayılar" ın "gerçek cebirsel sayılardan" çok daha tatmin edici bir karakterizasyonu olduğundan emin değilim, ancak p -adik mutlak değer, doğası gereği gerçek mutlak değerden daha "cebirseldir" ve aşağıdaki gibi farklılıklar vardır: $p$ değişir, peki bunlar nedir?

Answer 1

İzin Vermek $O_\overline{\Bbb{Q}}$ cebirsel tamsayılar olsun, bazı maksimum idealleri alın $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ kapsamak $p$, İzin Vermek $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, sonra $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ ve $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ alt alanı (izomorftur) $\overline{\Bbb{Q}}$ tarafından sabitlendi $G$.

Aynı şekilde, izin ver $S$ (sonsuz derece) cebirsel uzantıların kümesi $K/\Bbb{Q}$ bunun için bazı maksimum ideal $\mathfrak{p}\subset O_K$ şekildedir $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. Sonra$\Bbb{Z}_p$ tamamlanması (izomorfiktir) $O_K$ -de $\mathfrak{p}$, ve $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ herhangi bir maksimal elemanıdır (izomorfiktir) $S$.