Parça formülüne göre entegrasyon mu? $\int f'g = - \int fg'$ Kompakt olarak desteklenen, sınırlı varyasyonun sürekli fonksiyonları için geçerli mi?

Question

Varsayalım ki $f:\mathbb R \to \mathbb C$ destekli varyasyonun sürekli bir fonksiyonudur $[-T,T]$. Biz biliyoruz ki$f$neredeyse her yerde ayırt edilebilir. Ayrıca, izin ver$g \in C^\infty(\mathbb R)$sınırlanmak. Parça formülüne göre entegrasyon mu?$$ \int f'(x)g(x) \,dx = -\int f(x)g'(x) \, dx $$ doğru tutun?

Answer 1

İzin Vermek $T > 1$ ve izin ver $f = \chi_{[0,1]}$ karakteristik işlevi olmak $[0,1]$. Sonra$$ \int_{-T}^T f g' = \int_0^1 g' = g(1) - g(0). $$ Öte yandan, $f' = 0$ ae, $$ \int_{-T}^T f' g = 0. $$

Eğer anlarsak $f'$ ölçü değerli türev olarak $Df$ bir BV işlevinin $Df = \delta_0 - \delta_{-1}$, ve $$ \int_{-T}^T g\, Df = g(0) - g(1), $$ ile çakışıyor $-\int_{-T}^T f g'$.