Parçalı bir fonksiyonun Darboux integrallenebilir olduğunu kanıtlamak $[0,2]$ yardım

Aug 16 2020

İzin Vermek $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ tarafından verilmek

$$f(x) = \left\{ \begin{array}\ 10,\quad \ 0\leq x < 1, \\ 100,\quad \ x = 1, \\ -5,\quad \ 1 < x \leq 2. \\ \end{array} \right. $$

Kanıtla $f$ Darboux entegre edilebilir ve hesaplanabilir mi $\int_{0}^{2}f$.

Girişim

Fonksiyonun Darboux integrallenebilir araç olduğu $\epsilon > 0$bir bölüm var $P$ nın-nin $[0,2]$ öyle ki $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$.

Varsayalım $P = \{t_{0}, \dots, t_{n}\}$ bir bölümü $[0,2]$ ile $t_{j-1} < 1 < t_{j}$.

İçin, $t_{0} < \dots < t_{j-1}$: $m_{i} = M_{i} = 10$

Ayrıca $t_{j} < \dots < t_{n}$: $m_{i} = M_{i} = -5$

Şimdi yönetmekte sorun yaşıyorum $x = 1$Süreksizliğin olduğu yer burasıdır ve açıkçası sorunun meydan okumasıdır. İlk başta şunu söyleyecektim$m_{i} = M_{i} = 100$ 1 sayısı hangi aralıkta olursa olsun ve bu bana şunu verir:

$$L(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

ve

$$U(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

Sonra bunları çıkarırken elde edeceğim $U(f,P) - L(f,P) = 0 < \epsilon$.

Ancak bunun doğru cevap olmadığını hissediyorum ve bölümü biraz daha açık bir şekilde ifade etmem gerekiyor. Ayrıca her neyse$U(f,P) - L(f,P)$eninde sonunda integralin ne olduğuna yakınlaşacağıdır. Ve integrali hesaplarken (önceki calc tekniklerini kullanarak bir kontrol olarak) şunu elde ederim$5$ki bu, üst ve alt toplamlardaki farkın değeri değildir. Nerede yanlış yapıyorum?

Yanıtlar

1 enzotib Aug 16 2020 at 19:44

Sabit $\varepsilon$ ve alınmış $\delta$ yeterince küçük, alabilirsin $$ t_{j-1}=1-\delta,\qquad t_j=1+\delta, $$
Böylece \begin{align} L(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + \mathbf{(-5)}(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)-5\cdot2\delta-5(1-\delta)=5-15\delta\\ U(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)+100\cdot2\delta-5(1-\delta)=5+195\delta \end{align} böylece sahip olmak $$ U(f,P)-L(f,P)=210\delta<\varepsilon $$ seçmek zorundasın $$ \delta<\frac{\varepsilon}{180}. $$