Platonik katıların sert hareketleri grubunun sırası nasıl bulunur? $\mathbb{R}^3$?
Aşağıdakiler, Dummit ve Foote'un Cebirinde alıştırma olarak görünür (Bölüm $1.2$ - Dihedral Grupları):
- İzin Vermek $G$ katı hareketler grubu olmak $\mathbb{R}^3$bir dörtyüzlü. Olduğunu göstermektedir$|G| = 12$
- İzin Vermek $G$ katı hareketler grubu olmak $\mathbb{R}^3$bir küp. Olduğunu göstermektedir$|G| = 24$
- İzin Vermek $G$ katı hareketler grubu olmak $\mathbb{R}^3$bir oktahedron. Olduğunu göstermektedir$|G| = 24$
- İzin Vermek $G$ katı hareketler grubu olmak $\mathbb{R}^3$bir on iki yüzlü. Olduğunu göstermektedir$|G| = 60$
- İzin Vermek $G$ katı hareketler grubu olmak $\mathbb{R}^3$bir icosahedron. Olduğunu göstermektedir$|G| = 60$
Gönderen Bu yanıt O sert hareketler örneğin oryantasyon-koruyarak izometriler olan yansımaları izin verilmez düşündüm.
Bu yüzden, bir dörtyüzlü için, bir tepe noktasından ve karşı yüzün ağırlık merkezinden geçen simetri eksenlerini düşündüm. Böyle dört eksen var (onları arayalım$A,B,C,D$). Her eksen boyunca tanımlayabiliriz$1_i, r_i, r_i^2$ üç rotasyon olarak $r_i^3= 1$kimlik öğesi ($i=A,B,C,D$). Böyle dört eksen olduğundan,$|G| = 3\times 4 = 12$. Bu iyi mi yoksa bir şey mi kaçırıyorum? Ben biraz endişeliyim$1_A,1_B,1_C,1_D$ hepsi muhtemelen aynı (kimlik dönüşümleri oldukları için) ve ben fazla sayıyorum?
Küçük soru (sapma): Farklı eksenlere karşılık gelen kimlik dönüşümleri farklı mı yoksa aynı mı?
Küp için şunları yaptım:
- Her bir zıt yüz çifti için bir simetri eksenimiz var. Var$3$ bu tür çiftler, dolayısıyla $3$ böyle eksenler (söyle $A,B,C,D$). Tanımladığımız her eksen hakkında$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ ile $r_i^4 = 1$ nerede $i=A,B,C,D$.
- Dört vücut köşegeni vardır (diyelim ki $E,F,G,H$) ve her köşegen (simetri ekseni) hakkında tanımladığımız $1,r_j,r_j^2$ ile $r_j^3= 1$ nerede $j=E,F,G,H$.
Yukarıdaki hesaplamalar ışığında, elimizde $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$.
Bu yöntemin kullanılması bundan sonra daha büyük katılar için zor hale gelir . Tüm simetri eksenlerini elle belirlemek kolay değildir. Dahası, bu noktada biraz ayrıntılı olarak öğrendiğim tek grup,$D_{2n}$bu yüzden lütfen "gerekli grup" gibi çözümler vermeyin$G$ bilinen ve iyi çalışılmış bir gruba izomorfiktir $X$ve biliyoruz $|X| = ?$ yani $|G| = ?$"
Bunun için iyi bir yol aşağı kaynar düşünüyorum saymak tüm farklı sert hareketler. Birisi bana bu konuda yardımcı olabilir mi?
Burada James Ha'nın çözümlerine rastladım , ancak PDF'de sunulan çözümlerin tetrahedron ve küp kasalar için bile benimkine nasıl denk olduğunu anlamıyorum . Birinin denkliği görmeme yardım etmesi ve ayrıca diğer platonik katılarla nasıl ilerleyeceğimi söylemesi iyi olurdu! Çok teşekkürler!
Yanıtlar
Mevcut cevaplara biraz detay ve ek yorumlar eklemek için:
Orangeskid'in bahsettiği gibi, simetri grubunun boyutunu iki kenar arasındaki dönüşümlerin sayısından tahmin edebilirsiniz. İşte bunu daha net görmenin bir yolu:
Çokyüzlü üzerinde, bir tepe noktası ve bu tepe noktasından çıkan bir kenardan (veya eşdeğer olarak, uç noktalarından birinin ayırt edildiği bir kenardan) oluşan yönlendirilmiş kenarları düşünün . Eğer sahipsek$e$ kenarlar, o zaman bizde $2e$Bu yönlendirilmiş kenarların. Platonik katıları kullandığımız için, bunların her biri diğerine alınabilir (bu, Platonik katıların çoğu tanımından oldukça kolay bir şekilde çıkar, ancak oldukça sezgisel olmalıdır).
Ama bir kez bu yöndeki kenarı bildiğimizde $(v_1,e_1)$ yönlendirilmiş başka bir kenara gider $(v_2,e_2)$, dönüşü tamamen belirledik: hareket ettikten sonra $v_1$ -e $v_2$, olası dönüşleri, nesnelerin dönebileceği tek bir eksenle sınırladık (çünkü artık hareketsiz olan bir noktamız var) ve onu döndürmenin bu yollarından yalnızca biri hareket edecek $e_1$ -e $e_2$.
Özellikle bu, bir dönüşün, tek bir yönlendirilmiş kenarı aldığı yere göre benzersiz bir şekilde belirlendiği anlamına gelir; her biri$2e$ olasılıklar benzersiz bir rotasyon sağlar, olmalıdır $2e$ toplam olası rotasyonlar.
(Yönlendirmeyi tersine çeviren dönüşümlere izin verirsek, bunun iki katı vardır; yönlendirilmiş bir kenarı diğerine götürmenin her yolu için, yönlendirilen kenarı onun hakkında yansıtarak sabitleyen ikinci bir dönüşüm elde ederiz.)
Bir ekseni sabitleyen kimlik dönüşümlerine gelince, bunların hepsi aynı kimlik dönüşümüdür; şekli değiştirmeden bırakırlar.
Olası her platonik katı için olası (yönünü koruyan) dönüş türlerini daha açık bir şekilde açıklamak için:
Her platonik cisim için, olası rotasyonlar ya bir tepe etrafında önemsiz olmayan bir dönüş, bir $180^\circ$ bir kenar etrafında dönme, bir yüz etrafında önemsiz olmayan bir dönüş veya kimlik dönüşümü.
Dört yüzlü için yüzler zıt köşelerdir, bu nedenle $4\cdot (3-1)$ önemsiz tepe / yüz rotasyonları, $1$ kimlik ve $3$ kenar çevirme ($6$ kenar, ancak her çevirme için iki kullanılır), toplam $12$.
Küp için var $8\cdot (3-1)/2$ köşe dönüşleri, $6\cdot(4-1)/2$ yüz rotasyonları, $12/2$ kenar çevirmeleri ve $1$ kimlik, toplam $24$.
Oktahedron için var $6\cdot(4-1)/2$ köşe dönüşleri, $8\cdot (3-1)/2$ yüz rotasyonları, $12/2$ kenar çevirmeleri ve $1$ kimlik, toplam $24$.
Oniki yüzlü için, var $20\cdot(3-1)/2$ köşe dönüşleri, $12\cdot(5-1)/2$ yüz rotasyonları, $30/2$ kenar çevirmeleri ve $1$ kimlik, toplam $60$.
İcosahedron için var $12\cdot(5-1)/2$ köşe dönüşleri, $20\cdot(3-1)/2$ yüz rotasyonları, $30/2$ kenar çevirmeleri ve $1$ kimlik, toplam $60$.
Kartondan dört eşit eşkenar üçgeni kesmenin ve bunları bir tetrahedron yapmak için birbirine bantlamanın yerini hiçbir şey tutamaz. Bunu yaptıktan sonra, bir kenarın ortasına bir parmak ucunu ve karşı kenarın ortasına başka bir parmak ucunu koyun. Sonra tetrahedronu parmak uçlarınızla birleşen eksen etrafında döndürün. Bunu bulmalısın$180^\circ$dönme tetrahedronu kendisine geri getirir. Tecrübelerime göre, fiziksel olarak yapana kadar bunu görselleştirmek zor.
Bu tür üç çift karşılıklı kenar vardır ve bu nedenle, $180^\circ$rotasyonlar. Bunlar, kimliği ve sekiz rotasyonu ile birlikte$\pm120^\circ$ bir yüzün ağırlık merkezini zıt tepe noktasına birleştiren çeşitli eksenler, tetrahedronun tüm dönme simetrilerini açıklar.
Diğer Platonik katıların benzerleri vardır $180^\circ$rotasyonlar. Ancak sadece sayım istiyorsanız, daha basit bir şey yapabilirsiniz. Sabit yönlendirmeyle size bakan katının bir yüzü ile başlayın (bir kenar yatay diyelim). Eğer bir$m$taraflı yüz, var $m$ yatay olan kenarlar ve bunlar $m$yönler, yüzün merkezi etrafında döndürülerek birbirinden elde edilebilir. Şimdi eğer katı varsa$f$ yüzler, herhangi biri $f$döndürülerek "size dönük" konumuna getirilebilir. Öyleyse olmalı$mf$dönme simetrileri. Bu her şeyi açıklıyor.
Orangeskid'in cevabı benzer, ancak bundan daha basit. Size bakan, yatay olarak yönlendirilmiş bir kenarla başlayın. Bu kenarı içeren yatay düzlem, bu kenar boyunca birleşen iki yüz arasındaki iki yüzlü açıyı ikiye bölecek şekilde olsun. (Başka bir deyişle, sizin bakış açınızdan, sizden uzağa doğru eğimli olan bu iki yüz eşit görünecektir.) Şimdi yapabilirsiniz.$180^\circ$dönüş yukarıda tartışılmıştır, ancak katının diğer herhangi bir kenarını da bir döndürme ile "size dönük" konuma getirebilirsiniz. Yani var$2e$ simetriler.
Polyhedra için $3$ uzayda bir kenar olduğunu gösterebilirsin $a$ başka bir kenara alınabilir $b$ tarafından $2$ katının yönünü koruyan dönüşümü (bir tane alın ve sonra da dönebilir $b$). Tüm dönüşümleri düşünürseniz, o zaman vardır$4$ böyle dönüşümler. dönüşümler.
Bu nedenle, $|G_{+}(S)| = 2 e$, $|G(S)|= 4 e$, nerede $e$ kenarların sayısı $S$.