Polinom halkasının Jacobson radikali

Aug 18 2020

Tanım: Let$M$ fasulye $R$modül. Sonra Jacobson radikal$M$ ile gösterilir $J_R(M)$ ve tüm maksimal alt modüllerinin kesişimi olarak tanımlanır $M$. Eğer$M$ maksimal alt modülü olmadığında $J_R(M)=M$.

İzin Vermek $R$ değişmeli bir halka olmak ve $S=R[x]$Polinom halkası olun. Jacobson radikal olduğunu biliyoruz$S$ dır-dir $Nil(R)[x]$ ne zaman $S$ olarak alınır $S$modül. yani$J_S(S)=Nil(R)[x]$.

Sorum: Jacobson radikalinin ne olacağı$S$ ne zaman $S$ olarak alınır $R$modül? yani$J_R(S)=?$

Lütfen bana yardım et. Sana çok minnettar olacağım.

Yanıtlar

2 FabioLucchini Aug 18 2020 at 16:01

İlk not edin ki $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ gibi $R$-modül. Dahası, Jacobson radikali doğrudan toplamları korur, dolayısıyla$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ bu, katsayıları olan polinomların alt modülüdür $J_R(R)$.


Jacobson radikalinin modüllerin doğrudan toplamı ile değiştiğini kanıtlamak için, önce her $R$-modül homomorfizmi $\varphi:M\to N$ haritalar $J_R(M)$ içine $J_R(N)$. Bunu kanonik projeksiyonlara uygulamak$\bigoplus_iM_i\to M_i$ verir $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$. Benzer şekilde, kanonik katılımları dikkate alarak$M_i\to\bigoplus_iM_i$ ters kapsama alıyoruz $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$.