Pozitif tam sayıların karşılıklılarının toplamlarının yakınsaması / ıraksaması üzerine soru
Bilinen en yaygın yakınsama testlerini incelerken, bazı durumlarda bu tür testlerin sonuçsuz kaldığını buldum (örneğin, oran testi $r=1$, seri koşullu yakınsak olduğunda karşılaştırma testi, vb.), bu nedenle pozitif tamsayıların karşılıklı toplamlarını içeren seriler için bazı olası yakınsama testi düşünüyordum.
Bu testin arkasındaki mantık şudur: bir şekilde, verilen pozitif tamsayı alt kümelerinin yoğunluğu, kısmi toplamları aracılığıyla değerlendirilebilir ve karşılaştırılabilir. Örneğin, sezgiseldir ki bir dizi$n$ pozitif tamsayılar öyle ki $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ bir setten daha yoğun $n$ pozitif tamsayılar öyle ki $\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
Pozitif tam sayıların en çok bilinen karşılıklı sayı dizilerine bir göz attığımızda, bunu tam olarak görmek kolaydır. $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ pozitif tamsayıların olası en yoğun alt kümesine karşılık gelen kısmi toplamdır, çünkü bu, ile başlayan ardışık pozitif tam sayıların toplamıdır $1$. Toplamın$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_{k}}$ yaklaşık bir oranda farklılaşır $\ln(n)$. Asal sayıların karşılıklı sayılarının toplamı olan diğer bilinen ıraksak diziler, yaklaşık olarak$\ln\ln(n)$ve ardışık asal sayıların kısmi toplamı yaklaşık olarak $\sum_{k=1}^{n}p_k=\frac{1}{2}n^2\ln(n)$. Ancak, önceden belirtilen kısmi toplam$\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ Üçgen sayılar kümesine karşılık gelir ve bizde $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{b_{k}}=2$.
Belirtilen olası yakınsama testi, bazı işlevlerin varlığına dayanır $F(n)$, sınırlandırılmış $\frac{1}{2}n^2\ln(n)<F(n)<\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, öyle ki pozitif tam sayıların her sonsuz alt kümesi için $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ öyle ki $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$o zaman bunu onaylayabiliriz $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; ve eğer$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$o zaman bunu onaylayabiliriz $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$.
Bu nedenle test, dizinin paydalarının toplamına dayanacak ve aşağıdaki biçime sahip olacaktır:
(Olası) Yakınsama testi
Pozitif tam sayıların bazı sonsuz alt kümesi verildiğinde $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ öyle ki $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$o zaman bunu onaylayabiliriz $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; ve eğer$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$o zaman bunu onaylayabiliriz $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$
Şimdi soru şu: böyle bir işlevin varlığı mümkün mü $F(n)$? Burada ispatlanan gerçekle uyumlu mu:https://math.stackexchange.com/questions/452053/is-there-a-slowest-rate-of-divergence-of-a-series#:%7E:text=Talking%20about%20getting%20closer%20to,%22the%20slowest%20diverging%20series%22?
Böyle bir fonksiyonun varlığının mümkün olduğuna ve şuna eşit herhangi bir kısmi pozitif tamsayı toplamı yoksa uyumlu olacağına inanıyorum. $F(n)$. Örneğin, hipotetik olarak$F(n)=n^e$, yakınsama / ıraksama oranının olduğu gibi herhangi bir pozitif tam sayı kümesi olmazdı $0$.
Nasıl yapılacağına ilişkin herhangi bir yorum / tahmin 1) $F(n)$ve 2) yaklaşık $F(n)$ memnuniyetle karşılanacaktır!
Yanıtlar
Ne yazık ki, hızlı büyüyen bir işlev bile $F(n)$ temin etmekte başarısız $1/a_n\to 0$. Örneğin, koy$a_{2k}=k!$ ve $a_{2k+1}=1$ her doğal için $k$. Buna ihtiyacımız olduğunda bile$\{a_n\}$ azalmaz, hızlı büyüme bir serinin yakınsamasını sağlayamayabilir $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$. Örneğin, her çok hızlı artan işlev için$g:\Bbb N\to\Bbb N$ sıraya izin ver $\{a_n\}$ ardışık sayı bloklarından oluşur $g(k)$ ve uzunluk $g(k)$. Sonra bir dizi$\{1/a_n\}$ farklı ama bir dizi $\{\sum_{i=1}^{n} a_i\}$ büyük sıçramalar var $g(k+1)$ her biri $n(k)=1+\sum_{i=1}^k g(i)^2$.
Öte yandan, aritmetik ve harmonik araçlar arasındaki eşitsizlik şu anlama gelir: $$\sum_{i=1}^n \frac 1{a_i}\ge \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n a_i},$$ dolayısıyla bu eşitsizliğin sağ tarafı sınırsızsa, o zaman dizi $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$ farklılaşır.