Pozitif ve pozitif yarı tanımlı matrisler

Question

İzin Vermek $H_n$ olmak $(n+1)\times (n+1)$ gerçek simetrik matris ve $D_0,D_1,\dots, D_n$ önde gelen ana küçükler olmak $H_n$.

Bildiğim şey:

1. Eğer $H_n$ pozitif tanımlı (sırasıyla pozitif yarı tanımlı), o zaman $D_n> 0$ (resp. $D_n\geq 0$).
2. Eğer $D_k>0$ hepsi için $0\leq k\leq n$, sonra $H_n$pozitif tanımlıdır ( Sylvester kriterine göre ).

Bilmek istediğim şey, varsayarsak $H_n$ pozitif yarı kesin,

$\quad$S1. Eğer$D_n>0$, sonra $H_n$ pozitif tanımlıdır.

$\quad$S2. Eğer$H_n$ pozitif tanımlı değil, öyleyse $D_n=0$.

S1 için: Tümevarım yoluyla yapıldığına inanıyorum. $n$. İçin$n=0$: Eğer $D_0>0$, sonra $H_0$ikinci noktaya göre pozitif tanımlıdır. İçin$n=1$: Eğer $D_1>0$, bunu nasıl biliyorsun $D_0\neq 0$, böylece ikinci noktayı tekrar kullanabiliriz?

S2 için: Bunu biliyoruz $H_n$ varsayıma göre pozitif yarı kesin, bu nedenle $D_n\geq 0$ilk noktaya göre. Ama o zamandan beri$H_n$ pozitif yarı kesin değil, sahip olamayız $D_n>0$, yani $D_n=0$. Öyle mi?

Answer 1

Pozitif yarı belirsiz bir matris, ancak ve ancak tersinir ise (sıfır olmayan belirleyiciye sahipse) pozitif tanımlıdır.

Bu normalde aşağıdakilerin bir sonucu olarak alınır: simetrik bir matris, ancak ve ancak özdeğerleri gerçekse pozitif tanımlıdır ve ancak ve ancak özdeğerleri negatif değilse, yarı kesin pozitiftir. Oradan, bir matrisin determinantının özdeğerlerinin çarpımı olduğunu not ederiz.

Daha doğrudan bir ispat için, bir (simetrik) pozitif yarı kesin matris için not etmek yeterlidir. $H$, sahibiz $x^THx = 0 \iff Hx = 0$. Gelen burada Yazımın , birkaç farklı şekilde bu kanıtlamak. Oradan, bir matrisin sıfır belirleyicisine sahip olduğuna dikkat edin, ancak ve ancak boş alanı (AKA çekirdeği) önemsiz değilse.