R-modüllerinin Tensör Ürünü hakkında kafa karışıklığı

Question

Tu'nun Diferansiyel Geometri üzerine kitabında ilk olarak $Free(V\times W)$ gibi:

$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ toplamın sonlu olduğu yerde.

Anladığım kadarıyla yukarıdaki yapı biçimsel kombinasyonlardan oluşuyor ve modüllerin gerçek yapısını unutuyor. Başka bir deyişle, eğer$v_1+v_2 = v_3$bu doğru değil $Free(V\times W)$ o $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$

Şimdi alt modüle göre bölümlediğimiz tensör ürününü oluşturmak için, $S$ formun öğeleri tarafından yayılır: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ Sonra üründen tensör ürününe giden bir haritamız var. $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$

Ancak, eğer $v_3 = v_1 + v_2$o zaman bunu gösteremem $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ eğer durum böyle olmalı $\otimes$bir modül homomorfizm çift doğrusal haritasıdır.

Answer 1

Dan beri $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ ve $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ tarafından tanımlanır $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ kondisyon $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ bize bunu söyler $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ aynı olan $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. Ayrıca, tanımlayan diğer ilişkilerin de$S$ bize verir \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}

---

Hatırla eğer $M$ bir $R$-modül ve $S$ bir alt modülüdür $M$, bölüm $M/S$ tarafından tanımlanır $M/\!\sim$, nerede $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ Bu durumda denklik sınıfı $m \in M$ tarafından verilir $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (dolayısıyla $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$) ve bir $R$-modül yapısı $M/S$ tarafından $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$

Answer 2

Öyleyse gelecek nesil için, aynı kafa karışıklığını yaşayan başkaları için bir cevap yazmak istiyorum. @KCd'nin açıkladığı gibi,$Free(V\times W)$ formda

$$\sum r_i(v_i, w_i)$$

Bununla birlikte, belirli bir unsuru yazarsak $Free(V\times W)$ gibi $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ ve $v_3 = v_1 + v_2$ sonra $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ Başka bir deyişle, notasyonumuzdaki parantezlerimizin içinde biçimsel toplamlar almayız, bunun yerine modülün öğelerini normalde yapacağımız gibi birleştiririz.