Referans talebi: Kalkülüsün temel teoreminin çok boyutlu bir genellemesi
$\newcommand\R{\mathbb R}$İzin Vermek $f\colon\R^p\to\R$sürekli bir işlev olabilir. İçin$u=(u_1,\dots,u_p)$ ve $v=(v_1,\dots,v_p)$ içinde $\R^p$, İzin Vermek $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ İzin Vermek $F\colon\R^p\to\R$ herhangi bir ters türevi olmak $f$, anlamda olduğu $$D_1\cdots D_p F=f,$$ nerede $D_j$ kısmi farklılaşmanın operatörüdür. $j$th argüman; bu tekrarlanan kısmi farklılaşmanın sonucunun, kısmi türevlerin alındığı argümanların sırasına bağlı olmadığı varsayılır. İzin Vermek$[p]:=\{1,\dots,p\}$. Her set için$J\subseteq[p]$, İzin Vermek $|J|$ önemini belirtmek $J$.
O halde, analizin temel teoreminin ( Lemma 5.1 ) aşağıdaki çok boyutlu genellemesini yapmak zor değildir : \ begin {equation} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {J \ subseteq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {denklem} burada$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$.
Bu veya benzeri ifadeyi başka bir yerde gören oldu mu? (Sadece referansları soruyorum, kanıtları değil.)
Yanıtlar
Binlerce kez yeniden keşfedilmiş olabilecek böyle basit bir gerçek için, bunun ortaya çıktığı ilk makaleyi bulmak zor. Ancak, biraz eksik bağlam vereyim. Yapıcı kuantum alan teorisi ve ilgili "akıllı" enterpolasyon formülleri veya integral kalıntılı Taylor formülleri hakkında istatistiksel mekanikte bütün bir endüstri vardır . Bunlar, sözde küme genişletmeleri gerçekleştirmek için kullanılır . OP'nin kimliği için, alımda genellik kaybı yoktur.$u=(0,0,\ldots,0)$ ve $v=(1,1,\ldots,1)$. Bu durumda, Boole kafesinde Möbius ters çevirme yoluyla formül aşağıdaki özdeşlikten gelir.
İzin Vermek $L$sonlu bir küme olun. İzin Vermek$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ yeterince düzgün bir işlev olmalı ve $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$, sonra $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ nerede $\psi_A(\mathbf{h})$ element $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ nın-nin $\mathbb{R}^L$ elementten tanımlanmış $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ içinde $[0,1]^A$ kural gereği: $x_{\ell}=0$ Eğer $\ell\notin A$ ve $x_{\ell}=h_{\ell}$ Eğer $\ell\in A$. Elbette 1) bunu herkese uygulamanız gerekir$L$alt kümeleri olan $[p]$, 2) Boole kafesinde Möbius inversiyonunu kullanın ve 3) $L=[p]$ve bu OP'nin kimliğini verir.
Yukarıdaki formül, bir "çift küp" küme genişletmesi yapmak için kullanılan türünün en saf olanıdır. Makalede formül III.1'e bakın
A. Abdesselam ve V. Rivasseau, "Ağaçlar, ormanlar ve ormanlar: küme genişletmeleri için bir botanik bahçesi" .
Ayrıca kitabın 115. sayfasındaki kelimelerle de açıklanmıştır.
V. Rivasseau, "Pertürbatiften Yapıcı Renormalizasyona" .
Şimdi formül, çok daha güçlü olan özel bir durumdur, yani Lemma 1 in
A. Abdesselam ve V. Rivasseau, "Açıkça büyük ve küçük alanlı çok ölçekli küme genişlemesi" ,
"izin verilen" dizilerin toplamı $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ keyfi uzunluktaki elemanların $L$alt kümeleri yerine $L$. İzin verilen kavramı, keyfi bir durdurma kuralına dayanmaktadır. Yukarıdaki kimlik "izin verilen" e karşılık gelir$=$"tekrarsız" $\ell$zaten göründüğü bir dizinin sonunda. Bu tür bir durdurma kuralı seçimi ile oynayarak, Hermite-Genocchi formülünü, Hairer'ın "Düzenlilik yapılarının teorisi" Ek A'daki anizotropik Taylor formülünü ve diğer birçok şeyi kanıtlamak için Rivasseau ile yazımın Lemma 1'ini kullanabiliriz. . Ne zaman$f$ örneğin doğrusal bir formun üstelidir, MO mesajlarında olduğu gibi çeşitli cebirsel kimlikler elde edilebilir
rasyonel işlev kimliği
Permütasyonlar üzerinden toplamı içeren kimlik
Taylor formülünü hesap 1'den türetmek için Lemma 1'i kullanabileceğimi söylemeyi unuttum. Bu, $L$ bir öğeye sahip olmak ve izin verilen dizileri en fazla uzunlukta olanlar olarak tanımlamak $n$. Görmek
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
$p=2$boyutsal durum, Rogawski'nin matematik ders kitabındaki bir alıştırmadır. 2008 Erken Aşkınlar baskısında sayfa 885, bölüm 15.1'deki (Çeşitli Değişkenlerde Entegrasyon) 47 alıştırmadır.