Riemann toplamlarını kullanarak sınırlayın [yinelenen]

Jan 08 2021

Aşağıdaki limiti çözerken biraz sorun yaşıyorum:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n}$$

Bu soru "Riemann Toplamı" bölümündedir, bu yüzden bunu bir integrale dönüştürmemiz gerektiğini düşünüyorum, yani:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \sqrt [n] {e^k} = \int_a^b f(x) dx$$

bence$n$bölüm sayısı ve$1/n$her birinin uzunluğu, yani bu şu anlama geliyor$b - a = 1$veya$b = a+1$, bu, yalnızca için bir değer bulmamız gerektiği anlamına gelir.$a$ve$b$bu olacak$+1$. Ama şimdi değerini bulamıyorum$a$ne de$f(x)$. Bunu Nasıl Çözebilirim?

Yanıtlar

3 JoséCarlosSantos Jan 08 2021 at 01:58

Bunu not et$\sqrt[n]{e^k}=e^{k/n}$ve bu nedenle$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ne^{k/n}=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=e-1.$$