Sayısal eşitsizliğin daha iyi kanıtı $e^x$

Question

Eşitsizlik

$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$

Bunu 3 vakaya bölerek kanıtladım: $-3<z<0$, $z=0$ ve $0<z<3$.

İçin $z=0$, her iki taraf da eşittir.

Diğer 2 durum matematik ile yapılır. Tanımlamak$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$ ve sonra değiştir $|x|$ tarafından $x$ veya $-x$buna göre. O zaman sadece türevleri kontrol edin.

Ama bana göre, bu bir tür kaba kuvvet, bu yüzden onu göstermenin daha hızlı (daha akıllı) bir yolu olup olmadığını merak ediyorum.

Answer 1

Unutmayın, eğer $|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}