segmentin $IF=HF+GF$

Question

$AE$ ve $CD$ açıortaylarıdır $\triangle ABC$. $F$ hatta keyfi bir noktadır $DE$. Kanıtla$GF+HF=IF$.

farkettim $3$döngüsel dörtgenler. Herhangi bir fikir. İşte resim

Answer 1

Üç Doğrusal Koordinatları (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates) ilk durumda $F$ üçgenin içinde $ABC$.

$D$ ve $E$, açılı bissektörlerin ayakları olmak, resp. trilinear koordinat.$(1,1,0)$ ve $(0,1,1)$. Bu nedenle, düz çizginin üç doğrusal denklemi$DE$ dır-dir:

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

Yorumlama $(x=FG,y=FH,z=FI)$, anlıyoruz:

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

( verilen ilişki bu değil! )

Şimdi eğer $F$ üçgenin içinde değil $ABC$, işte diğer durumlar:

• Verilen şekilde gösterilen durumda ($F$ "sadece dışarı" $[DE]$ kenarında $E$), üç çizgili koordinatlardan yalnızca biri, $FG$işaret değişikliğine uğrar; bu nedenle (1) şu olur:

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

bu , verilen ilişkiye tekabül ediyor , bu sefer!

Verilen rakam durumunda, $F$ uzakta, ikinci bir işaret değişikliği meydana gelir, şimdi işaretli mesafe için $FH$, dönüştürülüyor (2):

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

bu üçüncü bir formüldür.

• tam tersine $F$ çizgi segmentinin dışında $[D,E]$ ama yanında $D$değiştirmeliyiz $FI$ (1) 'de tersine, ilişkiyi (3) geri veriyor.

İlişki hakkında açıklama (0): çarpımsal bir sabite kadar çalışarak elde ettik; bu önemsizdir çünkü sağ tarafında sıfır olan ilişkilerle ilgileniyoruz.