Setin sayılabilirliği $t$ öyle ki $E-tB$ enjekte edici değil
Ayrılabilir bir Hilbert uzayı düşünün $\mathcal H$ ve iki kompakt kendinden eşli sürekli operatör $E,B:\mathcal H \to \mathcal H$. $E$ enjekte edici.
Şimdi seti düşünün $$\tau = \{t\in [0,1]: E-tB\;\; \mathrm{is}\;\mathrm{NOT}\; \mathrm{injective} \}\,.$$
Bence kardinalitesi $\tau$ en fazla sayılabilir.
Açıkça her şey kolaysa $E$ ve $B$özfonksiyonların temelini paylaşır. Gerçekten, çünkü herkes için$t$ $E-tB$ kompakt ve özdeştir, yazabiliriz $$E-tB = \sum_{n=0}^\infty (\lambda_n - t\mu_n)P_n$$ nerede $P_n$ öz uzaylardaki projektörler ve $\lambda_n$ ve $\mu_n$ özdeğerleri $E$ ve $B$sırasıyla. Yani bu durumda$$\tau = \{t\in [0,1]: \lambda_n = t \mu_n\;\;\mathrm{for}\;\mathrm{some}\;n\}\,,$$ ki bu açıkça sayılabilir.
Ama genel durumla nasıl başa çıkılır? Mülkiyet hala geçerli mi?
Yanıtlar
İşte özel durumda kısmi bir cevap: $E\geq 0$.
Çelişki ile varsayalım ki $\{t_i\}_{i\in I}$ sayılamayan bir alt kümesidir $[0,1]$ öyle ki $E-t_iB$ herkes için enjekte edici değil $i$ve sıfır olmayan vektörleri seçin $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$ öyle ki $E(x_i)=t_iB(x_i)$, hepsi için $i$.
Eğer $t_i\neq t_j$ dikkat et $$ t_i\langle B(x_i),x_j\rangle = \langle E(x_i),x_j\rangle = \langle x_i,E(x_j)\rangle = \langle x_i,t_jB(x_j)\rangle = t_j\langle B(x_i),x_j\rangle , $$ yani $\langle B(x_i),x_j\rangle =0$ve sonuç olarak ayrıca $\langle E(x_i),x_j\rangle =0$. Bunu kullanarak$E$ olumlu yazabiliriz $E=E^{1/2}E^{1/2}$, yani $$ 0=\langle E(x_i),x_j\rangle = \langle E^{1/2}(x_i),E^{1/2}(x_j)\rangle , $$ ve bunu takip eder $\{E^{1/2}(x_i)\}_{i\in I}$ sayılamayan bir ikili ortogonal vektör ailesidir $H$bir çelişki.
DÜZENLEME (1): İşte başka bir ilginç gerçek. Orijinal sorunun cevabı olumlu ise, o zaman hipotez olmadan da olumludur:$B$ ve $E$ öz-eşleniktir.
İşte nedeni: (muhtemelen kendi kendine eşlenmeyen) kompakt operatörlerin $B$ ve $E$, ile $E$ enjekte etmek, bir karşı örnek vermek, yani sayılamayan bir alt küme bulabilir $\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$ ve karşılık gelen bir aile $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$ sıfır olmayan vektörlerin $E(x_i)=t_iB(x_i)$, hepsi için $i$.
Operatörleri düşünün $\tilde B$ ve $\tilde E$, üzerinde hareket etmek $H\oplus H$aşağıdaki gibi tanımlanır: $$ \tilde B = \pmatrix{0 & B^*\cr B & 0}, \qquad \tilde E = \pmatrix{0 & E^*\cr E & I}, $$ nerede $I$ kimlik operatörünü gösterir $H$. Ayrıca vektörleri de dikkate alın$\tilde x_i\in H\oplus H$ veren $\tilde x_i = \pmatrix{x_i\cr 0}$.
Kolay bir hesaplama şunu gösterir: $\tilde E(\tilde x_i)=t_i\tilde B(\tilde x_i)$, yani $\tilde E-t_i\tilde B$enjekte edici değildir. Anlaşılan ikisi de$\tilde B$ ve $\tilde E$ kompakt ve özdeştir ve şimdi bunu göstereceğiz $\tilde E$enjekte edici. Bunun için varsayalım ki$\pmatrix{x\cr y}$ boş uzayda yatıyor $\tilde E$. Bu nedenle bunu takip eder$E^*(y) = 0$ ve $E(x)+y=0$. Uygulanıyor$E^*$ ikinci kimliğe verir $$ 0 = E^*E(x)+E^*y=E^*E(x), $$ dolayısıyla $$ 0 = \langle E^*E(x), x\rangle = \langle E(x), E(x)\rangle = \Vert E(x)\Vert ^2, $$ giden $E(x)=0$, ve ayrıca $x=0$, Çünkü $E$enjekte edici. Bunu içine takıyorum$E(x)+y=0$, sonunda verir $y=0$aynı zamanda.
Bu nedenle çifti $(\tilde B, \tilde E)$olumlu bir cevabı olduğunu varsaydığımız orijinal soru için bir karşı örnek sağlar. Böylece bir çelişkiye vardık, dolayısıyla ifadeyi kanıtladık.
DÜZENLEME (2): Yoğunluk hipotezleri de kaldırılabilir !! Nedeni şu: farz edelim ki (muhtemelen kompakt olmayan) sınırlı operatörler$B$ ve $E$, ile $E$ enjekte etmek, bir karşı örnek vermek, yani sayılamayan bir alt küme bulabilir $\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$ öyle ki $E-t_iB$ herkes için enjekte edici değil $i$.
Her ayrılabilir Hilbert alanı, enjekte edici bir kompakt operatörü kabul eder (örneğin, köşegen girişli köşegen operatörü $1,1/2,1/3,\ldots $ açık $l^2$) öyleyse izin ver $K$ böyle bir operatör olmak $H$. Sonra açıkça$KE$ enjekte edici ama $$ KE-t_iKB = K(E-t_iB) $$değil. Böylece kompakt operatörler çifti$(KB, KE)$ EDIT (1) 'de olduğu gibi, orijinal soru için bir karşı örnek haline getirilebilecek bir karşı örnek sağlar.
DÜZENLEME (3): In this post soru nihayet NEGATİF yerleşti bu yüzden DÜZENLEME durumla (2) için bir karşı örnek bulacaksınız biri !!
Biraz daha spesifik olmak gerekirse, $E$ kimlik operatörü olarak alınır ve $B$ geriye doğru kayma (bunun için dikkat edin $t$ sıfır olmayan birinde var $E-tB$ iff enjekte $t^{-1}E-B$ dır-dir).